数学实验活动让数学定理的验证创新无限

庞小访

[摘 要] 数学实验激发了学生的学习兴趣以及思维的提升，培养了学生的观察与分析能力. 本文以“勾股定理的验证”为例设计了几种数学实验活动，培养学生的创造性思维.

[关键词] 数学实验；创造性思维；勾股定理

《课程标准》指出“数学教学活动特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；老师应当引导学生积极思考、自主探索、合作交流，学生学习应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. ”可看出2011年版的课程标准非常重视培养学生在学习数学方面有关合作与交流的学习意识，数学实验活动就是开展学生合作交流学习的有效方法. 一个好的数学实验问题设计在学生展开合作学习中起着决定性的作用，它可以引起学生的兴趣，激活学生的思维，能使学生在“做当中学数学”，体验到学习数学的乐趣.

本文以北师大版八年级数学上册“探索勾股定理”为例构建数学实验活动，加强学生对“观察、实验、猜测、计算、推理、验证”等活动过程的探索，以动手操作的活动来代替枯燥无味的理论论证，还提供了多种实验的方法来提高学生的思维水平，让学生把握勾股定理的各种证明方法. 通过一系列的数学活动使学生感受到数学的妙趣，思维的火花也得到点燃. 下面为数学实验活动设计.

实验探究一：割补法验证勾股定理

在上一节课中，我们通过数格子的方法发现了勾股定理. 在图1中，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？有了上节课的经验，大部分学生都会通过对这个大正方形进行适当割补后得到图2、图3. （表1）

1. 将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；

2. 图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴交流.

3. 你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？

实验探究二：通过拼图来验证勾股定理

问题1：利用四个全等的直角三角形通过拼图的方式来验证勾股定理. 如图4，在一张纸上复制四个全等的直角三角形，通过拼图的方式来验证勾股定理. 有哪些方法？并说说你的方法与上面实验一的方法之间有什么联系与差别.

问题2：如图5，利用两个直角边为a，b的全等直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形来验证勾股定理.

实验设计流程：

1. 首先让学生拿出课前准备好的直角边长为a，b的四个全等直角三角形，让学生独立思考之后，动手拼一拼，设法得到一个边长为c或者为（a+b）的正方形. 然后再小组交流、讨论，形成共识并对拼图结果进行展示，学生的做法可能大都是如图6（赵爽弦图）或图7所示.

3. 通过以上拼图发现归纳出实验结论：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形面积，即用等面积法得出直角三角形三条边的长a，b，c之间的一个等式. 同时也让学生明确其实图8恰为图7的一半.

实验设计意图 通过这个实验让学生进一步加深對问题的理解，通过拼图活动让学生能关注知识、方法之间的内在联系，建立自主反思意识，渗透一定的学法指导.

实验探究三：折纸勾股图

你能利用一张正方形纸片通过折纸的方法来证明勾股定理吗？

实验设计流程：

1. 如图9所示的正方形纸片，使用铅笔在正方形纸片ABCD的边CD上任取一点E，使CE=a，DE=b.

2. 使用直尺和铅笔连接AC和BD得正方形的中心O，如图10所示.

3. 作射线EO，交AB于点F，再将E，F两点重合对折，折痕为GH，使用直尺和铅笔加深折痕（其中点G在BC上，点H在AD上），如图11、图12所示.

4. 使用直尺和铅笔连接EH，HF，FG，GE，如图13所示.

5. 分别过EH（图14）、HF（图15）、FG（图16）、GE（图17）折叠即可得到“赵爽弦图”（图17）.

6. 在图18的背面，过点H作HI⊥BC，垂足为I，过点F作FJ⊥CD，垂足为J，且FJ交HI于点K.

实验设计意图 这个实验难度比较高，在这个实验的过程中教师要适度地引导、激发学生的思维火花，设计这个实验训练学生如何应用现有的知识通过转化思想来解决新的问题，让学生通过自身的参与，提高对问题的理解. 取点的变换、折纸，是希望学生灵活地把陌生的问题转化为熟悉的问题. 第6步实际上是整节实验课的升华，与毕达哥拉斯的证法相联系. 通过这个实验使学生建立对知识、方法的应用，提高了学生思维水平.

课外探索——一般三角形三边长是否满足勾股定理

1. 计算发现

在图20与图21中，方格纸上每个小方格的边长均为1，各图中阴影部分所示的三角形的较短两边长分别记为a，b，最大边长记为c，分别计算图中a2，b2及c2的值，并填写在表格中.

2. 上机实验

请你根据以上实验操作提示，任意画一个三角形（要求，顶点均在格点上），上述发现的结论是否仍然成立？写出你认为正确的结论. （表7）

实验设计流程 （1）给学生演示如何利用Geogebra软件的功能快速计算. （2）指导学生进行上机实验，并完成实验报告.

实验设计意图 让学生熟悉Geogebra软件的操作以及锐角三角形、钝角三角形三边长关系的结论.

本实验是为北师大版《义务教育教科书数学》八年级上册“1.1.2 验证勾股定理”设计的. 本实验首先利用实验一的割补法思想来计算正方形面积，由于采用的算法不同使得正方形面积的代数表示结果不同，通过面积相等这一等量关系，得到一个等式，化简即可得到勾股定理，感受数形结合的思想. 其次，通过不同的拼图活动，探索毕达哥拉斯证法和赵爽弦图法得到勾股定理的古典证法，让同学们体会其中蕴涵的数形结合思想. 最后通过利用正方形纸片进行折纸活动，探究图形的构成，将毕达哥拉斯证法、赵爽弦图法和总统证法联系起来，让同学们再次亲历验证勾股定理的过程，进一步丰富同学们的数学活动经验，使其体验到数学活动的快乐、发展动手能力、推理能力，以及分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值，掌握勾股定理的古典证法.