“无理方程”的教学实践与反思

季沈玲

[摘 要] 学习者自身必须具备一定的认知才能从物质的、文化的、感知的世界中对某些特征进行辨认和察觉，数学教师在实际教学中应善于引导学生在各种知识点之间进行观察、比较和分析并因此达成对知识的深刻理解与感悟.

[关键词] 无理方程；比较；感悟

教师在无理方程的教学中如果能够引导学生对知识进行分析、推理和判断，就能够帮助学生将新知识与原有知识结构进行更好的融合，使得学生能够在自己发现知识规律的过程中进一步提高思维能力. 不同方程、方程的不同解法、式与方程之间的比较归纳能使学生牢固掌握知识的同时获得更多的感悟和反思.

教学片段

1. 引导学生在方程左右两边的比较中感悟“列方程”的实质

在问题情境中引出无理方程及无理方程的概念是本课教学的一个主要目标.

环节1：创设情境问题.

问题：已知一根细铁丝长为30厘米，将其弯折成一个直角三角形并使其直角边长为5厘米，应如何弯折呢？

师：题中所说的如何弯折表达的是什么意思？

生：求边长.

师：解题中需要引进未知数吗？如果设另一直角边是x厘米，那么方程应该怎样列呢？

生：由勾股定理可得：52+x2=（30-5-x）2，即52+x2=（25-x）2 ①.

师：还有其他的方式可以表達斜边吗？

师：那大家能列出跟①式不一样的方程吗？

师：大家有没有想过方程②左右两边指的是什么呢？这一方程的列出对后续学习有什么意义呢？

生：不同的表达方式表示的都是直角三角形的斜边.

师：大家可以归纳列方程的实质吗？

生：用两种不同的方式对问题中的同一个量进行表达并在两种不同表达方式中间加上“=”就能得到方程.

师：上述题目还可以从其他角度来考虑吗？

2. 引导学生在列方程的过程中感悟无理方程的基本特征

上面我们讨论出的三个方程中包含了有理方程和无理方程，对这三个方程进行进一步的比较能够得出无理方程的概念并令学生印象深刻.

环节2：在比较中得出无理方程的本质特征与概念.

师：大家觉得上述三个方程中最引人注意的是哪个呢？

生：②或③.

师：为什么？

生：含有根式且根式下的内容是包含未知数的代数式，以前没学过.

实践证明，学生没有接触过的形式能很好地吸引住他们，因此，教师可以把握学生的这一心理特点并将无理方程、初等代数方程的概念及时抛出，随后再安排一定的练习帮助学生在比较中巩固概念的理解和掌握.

判断：下述方程中有关于x的无理方程吗？

3. 引导学生在一题多解的比较中感悟解题原理与思路

环节3：观察、比较方程并探寻解法.

师：大家再观察一下上述我们讨论出的三个方程，②和③之间有没有联系呢？

生：它们是一样的.

师：说完整了就是方程③经过等价变形是可以转化成方程②的，那大家再看看方程①和方程②呢？

生：方程②可以通过方程①的两边开方而得到.

师：也就是说如果a2=b2，就有a=b，大家觉得对吗？

生：不对，如果a2=b2，则有a=b或a= -b，所以说方程①可以把方程②的两边平方来得到.

师：也就是说如果a=b，则有a2=b2，这样说对吗？

生：对.

师（同时板书）：解无理方程就是将方程两边平方将其转化成有理方程再求解.

4. 引导学生在变式比较中感悟验根的必要

环节4：实践比较.

在学生自主解题之时设问：例2中两个方程并不相同，但其根却是一样的，为什么呢？

学生很快在观察与比较中感悟到方程的非同解变形会使方程根的范围扩大，所以此时就需要验根了.

5. 引导学生在一般和特殊的比较中感悟“通法”和“巧法”

解无理方程通常会用的“平方法”在教学中应得到一定量的练习和巩固，但教师在实际教学中也应警惕学生因为“平方法”的运用而形成思维定式.

环节5：自主练习与比较.

上述三个方程中的前两个只需要一般的解法——平方法就可以解决，只是第（2）小题的解决不能把“2”的平方给疏忽掉，但（3）这个特殊的无理方程运用简单平方的解法却是比较盲目的，这三个方程的解决能够帮助学生巩固方法的同时克服思维定式所引起的负迁移.

6. 引导学生在分式方程和无理方程的比较中感悟化归思想

环节6：类比分析化归思想.

师生总结，得出结论：

7. 引导学生在“方程”和“式”的比较中感悟知识内在关联

环节7：比较中得出方程的知识结构.

教学反思

1. 感受比较法在教学中的价值

教育家马登（F. Marton）曾经发表过学习就是鉴别的著名观点，鉴别又必须建立在比较的基础之上，学习者自身必须具备一定的认知才能从物质的、文化的、感知的世界中对某些特征进行辨认和察觉，数学学习中自然也少不了“比较”这一方法运用.

本节课中无理方程的概念形成、解法、验根等诸多内容的研究都是在比较法的运用下形成的，学生在教师的引导下观察、比较、思考、判断并自主得出结论. 比如，分式方程与无理方程的解法比较中得出共同的思想方法.

2. 教师应善于运用比较教学

比较法的应用首先还得建立在材料之间是否具备一定的可比性，并且这种可比性是否能够为学习者所发现，因此，教师在实际教学中首先要选择内容或形式上具有一定联系的材料，不管这种联系是相似的，还是相关的. 发现材料之间的联系从某种程度上说是比较关键的环节. 数学内容之间存在紧密联系是数学这门学科最重要的一个特征. 比如，数、式、方程、函数、不等式这些代数知识之间就存在着很明显的脉络关系，其中函数概念在式、方程、不等式、数列这些中学数学的重要内容中就起到了很好的纽带作用；再比如，三角形这一最基本的几何图形的研究方法和基本性质在后续四边形、多边形的解题中都会得到应用，后续很多内容的研究都必须建立在三角形这一基本图形的化归中解决. 因此，教师在实际教学中应善于在比较中发现各知识点之间的联系，在比较中将事物的不同点进行揭示和区分并得出其各自所具备的特殊性质或特征. 比如，有理方程与无理方程就是通过比较得出不同特征后而获得的. 因此，教师在实际教学中既要研究各知识点之间的联系以达成知识点之间的转化，同时还应对其不同进行研究以获得各知识点的不同之处.

是否善于比较还在于是否能够寻找出比较合适的角度进行比较，不管是探寻对象之间的共同特征，还是探寻对象之间的差异或规律，或许探寻的目的各有不同，但这都需要选择一定的视角才能更好地观察、比较、分析和概括. 比如，教师在概念教学中就应该对一组对象进行观察、比较并发现这些对象所具备的共同特征，继而归纳概括得出；再比如，教师在解题教学中就应该对例题或习题进行比较并引导学生在解题时不断与之前的解题进行比较，并逐步得出它们在一般解题步骤、解题的原理方法上的相同点，同时对它们之间本质上的差异、不同的解法进行各种比较和探寻.

例如，教师在本课例题教学中为了思想方法的析出选择了分式方程和无理方程解题思想的比较；为了无理方程解法与“多解归一”本质的析出则选择了“一题多解”解题策略进行比较和概括；为了无理方程增根产生原因的析出选择了“异题”“同解”的比较，等等.

3. 在比较中获得感悟

教师在这样一个发现问题、分析问题、解决问题的比较过程中应合理启发、引导学生产生认知冲突，使学生在这样一个思维过程中激发出学习的兴趣，提升思维的积极主动性并对所学知识形成深刻的理解与感悟.