策略建构：从意识走向思想

刘跃彩

摘 要：小学阶段“解决问题的策略”教学不应着眼于问题解决，而应侧重于策略感悟。在数学教学中，教师可以通过情境催生学生的策略意识，通过操作引导学生感知策略方法，通过反思内化学生的策略经验，通过应用形成学生的策略思想。从而，让策略意识在学生心中从朦胧走向清晰，从清晰走向深刻。

关键词：解决问题；策略意识；策略方法；策略经验；策略思想

《义务教育数学课程标准（2011版）》在“解决问题”的课程目标中对“解决问题策略”教学提出了明确的要求。与课程标准相配套的教科书也都或多或少地安排或渗透了“解决问题的策略”。解决问题的策略对于学生解决问题，体验问题解决方式的多样性具有重要意义。策略是介于数学方法和数学思想之间的，相比于方法，策略更上位一些。在小学数学教学中，教师要准确把握策略内涵，催生学生的策略意识，内化策略经验，形成策略思想。

一、情境：催生策略意识

美国数学教学指导委员会指出，“问题解决就是将所学的知识运用到情境中的过程”。在数学教学中，教师要创设情境，引发学生策略需求，催生学生策略意识。数学情境，一方面要有儿童味、生活味；另一方面要求数学味，能够引发学生数学思考。换言之，有效的数学情境应该是情理交融、有情有理的。情境对于学生获得对策略意识的萌发、生成，领悟策略的真谛以及运用策略都具有极为重要的意义和价值。在数学教学中，教师要启发学生寻求策略，激发学生策略心理需求。

比如，人教版四年级下册的《数学广角——鸡兔同笼》是我国古代著名趣题。原题是：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（《孙子算经》）其意是：鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问有多少只鸡和多少只兔？“鸡兔同笼”问题具有极高的思维价值。在教学中，笔者首先将学生带入问题情境之中，让他们感受条件、问题之间的复杂关系，催生学生的画图意识。比如，有学生在画图中想到了“立正法”，即让兔子立正。这样，每只鸡和每只兔的脚相等，一共就有70只脚，多的脚就是兔子抬起来的脚，因此兔子有24除以2，也就是12只。再如，有学生在画图的过程中认识到，如果我们给每只鸡再装上两只脚，那每只鸡和每只兔子的脚的数量就相等了，一共就有140只脚，而多的46只脚，就是我们给鸡装的脚，从而鸡的只数就是46除以2等于23只。

在问题情境中，学生的思维被盘活，有的用“折半法”，有的用“砍足法”等。正是在趣味化的问题解决中，学生领悟到“假设法”的一般性策略：即假设所有的动物都是鸡，或者所有的动物都是兔子（极端假设法），又或者假设有一半的鸡和一半的兔子（中间假设法）等。

情境是根据教学目标和教学内容设定的一个环节，这个环节要催生学生萌发解决问题的策略，比如画图、列举、假设等。只有这样，情境才是有价值、有意义的。高质量的情境， 能让学生置身其中并能做出主动心理反应，是学生问题解决的直接外部诱因。从这个意义上说，情境是打开学生问题解决策略之门的钥匙。

二、操作：感知策略方法

瑞士著名教育心理家皮亚杰认为：“学生的智慧在指尖上。”在解决问题策略教学中，教师要引导学生动手操作，让学生能够对问题解决的策略获得直接的心理感受与体验。但这种操作要警惕学生沦落为操作工，教师应将学生的操作与感悟、体验融通起来。换言之，解决问题策略中的数学操作应该是一种“具身性认知”，这种认知能够促进学生对策略形成深刻认知，能够吸引学生的主动探究，能够培养学生的创新精神和实践能力。

比如教学《鸽巢问题》（人教版六年级下册），有教师在教学中直接将这种策略定位于“至少数=商+1”，关注的是抽屉原理的表面模型，而忽视了模型的建构过程。由此，学生获得的只是数学知识，而没有获得对问题解决策略的感悟。笔者在教学中通过让学生“摆一摆”“说一说”“试一试”“找一找”等活动，引导学生观察、猜想、实践，让学生获得一种策略感悟。先從简单情况入手，学生将“4只铅笔”放进“3个笔筒”中，一共有哪些不同的情况呢？学生在小组内展开操作，然后将各种情况用笔一一列举出来，形成了（4，0，0），（1，3，0），（2，2，0）到（1，2，1）等诸多情况。这些情况有怎样的共同点呢？学生发现，不管怎么放，总有一个抽屉里有两个物体。接着，让学生将“10本书”放进“6个抽屉”，这时有学生试图操作，但却因为物体的个数多、抽屉的个数多而缓了下来，他们开始有序列举。还有一部分学生通过思考后返回操作，开始从“最不利的情况”出发，先在每个抽屉里放一个物体，在放了一轮之后，再在每个抽屉里放一个物体。在这种循环操作中，学生发现，“鸽巢问题”与“平均分”有关。在这种平均分的过程中，学生感悟到：如果物体个数是抽屉个数的整数倍，那么每个抽屉里所放物体地个数就是“倍数”个；如果物体个数不是抽屉个数的整数倍，那么每个抽屉里所放物体的个数就是“倍数+1”个。教学中，学生从“操作”到“列举”，再从“列举”到“操作”，然后发现“鸽巢问题”与“平均分”相关，进而概括出“鸽巢原理”的基本规律。在这个过程中，学生还诞生了“从最不利出发”的思想。

策略因问题而生，也因为问题而至。学生在操作中观察、猜测、实践，其策略方法自然地流淌于学生的手指尖上。在操作过程中，学生自然展开内隐性思维：为什么、怎么样、还可以怎样……正是通过这种具身性的活动，学生才能逐步抽象出问题解决模型。

三、反思：内化策略经验

苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为，“数学教学是数学思维活动教学”。在解决问题的过程中，教师要引导学生对学习过程进行自觉反思、审视，引发学生对数学学习的再认识、再思考。这是一种“回头看”，是一种回顾与审视。在这个过程中，学生能够逐步学会“调整”“调节”，这是数学知识结构同化、内化的重要过程。通过回顾、反思，学生才能将程序性、过程性知识提升为一般意义和普遍意义的方法性知识、策略性知识。

比如教学《三角形的面积》（人教版五年级上册），在学生通过剪、拼、移，将三角形的面积转化成平行四边形、长方形后，笔者引导学生针对不同的转化方法进行反思，提升学生的认识。“为什么要将三角形旋转180°？”“为什么要沿着三角形的中位线剪开？”“为什么要沿着三角形的中位线两端的垂线剪开？”……这样的追问，其目的是让学生深刻理解操作的意图：即将三角形转化成平行四边形或者长方形，也就是说，将三角形转化成已学过的图形。更一般地，将未知转化为已知，将陌生转化为熟悉。只有上升到“为什么操作”的层面，数学策略意识才能形成。正是因为有了策略意识，有了策略指向，学生在学习《梯形的面积》时，才能想到将梯形转化成长方形，或者将梯形转化成平行四边形，或者将梯形转化成三角形等。可见，操作让学生的数学学习从“碎”到“统”，从“木”到“林”，不仅让学生积累了活动经验，明晰了知识结构，更提升了学生的认知能力，感悟到数学思想。

数学问题解决的过程，一般要经历这样几个阶段：潜意识阶段、明朗化阶段和深刻化阶段。解决问题的过程回顾与反思，就是让学生从策略的明朗化阶段走向深刻化阶段的重要方式。可以这样说，没有反思就没有策略的形成，策略的有效形成必然伴随着主体的不断反思。只有对解决问题的过程形成深刻认知，一般意义上的策略才能形成。

四、应用：形成策略思想

不同的策略可以帮助我们解决不同的实际问题，同时，不同的问题需要不同的策略。在数学教学中，学生不仅需要形成策略意识，更需要在应用中形成策略思想，策略思想关注策略“何时用”、关注策略“在何种情况下用”。培养学生策略应用的能力是解决问题教学的重要目标。因为，只有在策略的运用中，学生才能形成深刻的心理体验。

比如，画图是一种策略，不仅能够帮助学生描述题意，而且能够引导学生进行数学思考，帮助学生解决数学问题。但是画图这种策略并不是依靠一两节课就能够形成的，而是需要渗透在日常的教学之中。不仅“图形与几何”部分内容需要画图，“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”等板块的数学内容也需要画图。比如在教学《分数四则混合运算》（人教版六年级上册），教师在引导学生解决有关“倍数”“比”“分数”等分数乘除法混合运算的实际应用问题时，就可以恰当地运用线段图，让学生明晰“量“率”之间的对应关系，从而能够更好地理解数量关系。这里，对应是指导学生画图的数学思想，画图是落实数学对应思想的策略。在數学运用中，一方面学生能够将数量之间的关系用图表示出来，另一方面能够通过形，解决数量之间的关系。正如北京教育学院数学系副教授张丹教授所说的那样，“画图策略是非常重要的一种分析问题和解决问题的策略，它是利用‘图的直观来对问题中的关系和结构进行表达，从而帮助人们分析问题和解决问题。同时，画图又是一个‘去情境化的过程，它把情境中的数量关系进行提炼，并进行直观表达”。

策略的应用促进了学生的策略内化，同时也促进了学生的策略外化。尤其是当学生在解决问题中遭遇阻力时，策略的介入、运用更能让学生体验到策略的优点。在学生运用策略时，教师要引导学生思考：为什么要用这种策略而不用那种策略？用这种策略有什么好处？什么样的问题解决需要这种策略？只有在对策略的自觉追问中，学生才能诞生鲜活的数学思想。

解决问题的策略是一种宏观的问题解决思路，是一种植根于心的分析、思考问题的思想方法。在数学中，比知识更重要的是方法，比方法更重要的是策略。教学中，通过情境催生学生的策略意识，通过操作感知策略方法，通过反思内化策略经验，通过应用形成策略思想，最终让策略意识在学生心中从朦胧走向清晰，从清晰走向深刻。