基于SIS模型的禽流感传染模型

韩翔夏　苏徽

摘要：通过模拟禽流感传染后期出现人人传染现象后的情况，建立适合的数学传染病模型，并且对模型中的参数进行数值模拟，以研究出各参数对于模型的变化，即传染病的后期传播动向的影响，从而来为在禽流感突破人禽传播途径后期禽流感防治提供理论策略。

关键词：SIS模型；数学建模；Matlab

中图分类号：F24文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.22.036

1模型引入

禽流感的传染途径，是经由禽类携带，禽类种群间传播，禽类传播给人类。在2006年，在印尼发生了一件到目前为止历史上最大规模以及范围的禽流感人人传播疫情，最开始是一名女子因感染到了H5N1病毒而死亡，接着共有七名家人出现感染现象，而经过调查显示，该家庭所住的地方并没有出现已感染禽类。因此，在此我们假设在禽流感传染后期，某地区禽流感疫情变得严重，大范围出现的感染禽流感现象，已经出现了人传染人的传染特性，此时我们引入后期禽流感感染的SIS传染病模型。

2模型的假设

（1）假设在传染病传染期内所考察地域的总人群数N保持不变，并且在我们不考虑生死以及迁移的情况下，将人群分为易感者群体和感染者群体。

（2）假设每个感染者每天有效传染率为，称作日传染率，且使被接触的易感染者致病，当感染者群体与易感染者发生接触时，使易感染受感染转变为感染者。

（3）假设每天被成功治愈的人数与总病人数比例是常数，称作日治愈率，它使易感染者转变为易感染者，但在治愈后依旧有可能继续被感染，那么我们可以容易的知道，是禽流感的平均传染期。

3符号说明

记t时刻的感染者总数与考察地区的人口总数的比例为I（t），假设I（t）连续、可微，且；t时刻易感者总数占考察地区人口总数比例为S（t），那么就有N（t）=I（t）+S（t）。

4模型的建立与求解

平均每个病人每天可以使人染病，就是病人人数的增加率，则考察地区每天有受到感染，而平均每天共有被治愈，那么就是每天的病人增加数，就是每天病人治愈数，我们通过考虑时刻病人增加人数以及病人的治愈数来计算。

5模型分析

根据上式可知，对于I（t），仅与λ，μ，有关下面研究，在其他因素保持不变的情况下，运用Matlab软件，分别探究λ，μ，两个因素对I（t）的影响，进而为禽流感的传播发展状况提供有效依据。

5.1对于I（t）的参数影响

首先我们研究λ对于I（t）的影响，我们取治愈率μ1=0.1，μ2=0.7，t0=0.001分别取λ1=0.2，λ2=0.4，λ3=0.6，经过Matlab软件计算分析可知，I（t）与λ正相关，λ作为传染率，当时λ>μ，地区传染率大于治愈率，染病者开始增加，逐渐形成地方病，而当λ<μ时，地区传染病小于治愈率，染病者逐渐减少。

5.2对于I（t）的参数影响

接着我们研究对于I（t）的影响，我们取治愈率λ1=0.1，λ2=0.5，t0=0.001，分别取μ1=0.2，μ2=0.3，μ3=0.4，经过Matlab软件计算分析可知，I（t）与μ负相关，λ作为传染率，当时λ>μ，地区治愈率大于染病率，染病者逐渐减少，而当λ<μ时，地区治愈率小于染病率，染病者逐渐增多，并趋于稳定。

5.3σ对于I（t）的参数影响

为了更深入研究I（t）关于λ，μ的关系，现我们定义：

σ=λμ

考虑到λ，μ的意义，我们可得知σ是关于禽流感传染周期内每个已感染病人的平均有效接触率，我们称之为有效接触率。此时我们将公式（1）变形得：

dIdt=λI（t）I（t）-I-Iσ（3）

经过Matlab软件计算，当σ≤1时，感染者变化率为负值，此时感染者占比在下降；而σ≥1当，感染者变化率取决I于值的大小，当I≤1-1σ时，变化率为正值，且当I=11σ2时，变化率最大，当I≥1-1σ时，变化率为负值，感染者占比下降。

关于接触数σ=1是一个阈值.无论为何值，I都为i0以为起始點，逐渐趋于I-1σ，即：

limt→∞ I（t）=I-Iσ，σ>I0，σ

参考文献

[1]刘红良.数学模型与建模算法[M].北京：科学出版社，2016：202210.

[2]李汉龙，廖淑贤，韩婷，王金宝.数学建模入门与提高[M].北京：国防工业出版社，2013：130133.