微积分思想在中学数学中的应用

摘 要：随着新课程标准的逐步实践，在高考中运用到高等数学的知识及其思想方法比例越来越重。在中学数学中，尤其是高等数学的微积分思想发挥了重要的作用。

关键词：微积分；中学数学；导数

一、 微积分思想的应用

高等数学的基础是初等数学，它们之间的联系密切相关。微积分作为一种强有力的数学工具，其地位是毫无疑问的，把微积分的思想渗透到中学数学问题中，能使复杂的问题大大简化。由于导数优良的性质、广泛的用途使它在微积分中扮演了重要的角色，尤其是在求函数极值和单调区间、切线方程、不等式的证明等方面，不仅可以简化解法，而且能对问题进行更为深入、全面的研究。

（一） 求函数的单调区间

【例1】 （2006年江西卷）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23與x=1时都取得极值。

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；

（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b，

f′（1）=3+2a+b=0，

f′-23=43-43a+b=0得：a=-12，b=-2，则f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），

所以函数f（x）的递增区间是-∞，-23，（1，+∞）递减区间是-23，1

由上述例题可知，在寻求类似f（x）=ax3+bx2+cx+d的函数的单调性时，利用导数的性质来解决比用单调性的定义法更加简单易懂。

（二） 求函数的极值、最值及切线方程

【例2】 已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。

（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；

（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程。

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，由题意得：f′（1）=f′（-1）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0

解得a=1，b=0所以f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）。

令f′（x）=0，得x=-1，x=1。若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数。若x∈（-1，1），则f′（x）<0，故f（x）在（-1，1）上是减函数。所以f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值。

（2）曲线方程为y=x3-3x，点A（0，16）不在曲线上。

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x30-3x0由于f′（x0）=3（x20-1），所以切线的方程是y-y0=3（x20-1）（x-x0）。又点A（0，16）在切线上，有16-（x30-3x0）=3（x20-1）（0-x0），得x30=-8，所以x0=-2，

因此，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0。

（三） 导数在不等式的证明中的应用

在中学数学的学习中，不等式的证明往往让学生感到非常的头疼，通常技巧性非常的强，并没有一个固定的方法去求解。在初等数学中，我们通常采用的方法是恒等变形、利用二次型、数学归纳法、使用重要不等式等。

【例3】 证明不等式：ex>1+x和ex>1+x+x22（x>0）。

证明：设f（x）=ex-1-x，则f′（x）=ex-1>0（x>0）。所以f（x）递增，又f（0）=0，故f（x）=ex-1-x>0，即ex>1+x。

设g（x）=ex-1-x-x22，则g′（x）=ex-1-x。由上面已证得的结果：ex>1+x知g′（x）>0（x>0），故g（x）递增，且因g（0）=0，即g（x）>0，即ex>1+x+x22。

二、 结束语

微积分在解决中学数学问题中的应用不仅仅局限于此，在其他如化简代数式、因式分解、求值与求和等方面也有广泛的运用。因此，微积分思想方法不仅在指导高中学数学里有着重要的作用，而且在许多中学数学问题上能化难为易、化繁为简。

参考文献：

[1]邱勇.数学分析对中学数学的指导作用[J].时代教育，2013（07）：147.

[2]谷佳.微积分的思想及方法在中学数学中的应用[J].数学学习与研究，2016（19）：101.

[3]俞宏毓.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006（02）：32-34，36.

作者简介：

罗钦，四川省南充市，西华师范大学。