浅谈数形结合法在高中数学教学中的应用

杨永健

【摘    要】数字和形状组合中的“数字”和“形状”是数学中最基本的两个概念，它们是相反的和统一的。每一个数据可以转化为与之对应的图形，图形也可以转化为对应的数据。这是化抽象为具体的最佳方式，是高中生应掌握的关键数学思维方法。本文将详细阐述数形结合法在高中数学中的应用。

【关键词】数形结合  高中数学  运用

中图分类号：G4      文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2018.20.128

“数形组合”是解决数学问题的重要方法之一。它让思维方式在抽象和具体之间自由切换，既有数字的严谨性，又有图形的直观性，是优化解题过程的重要途径之一。那么，作为优秀的高中数学老师，如何在教学中运用数形结合的思想，使它更容易被学生接受呢？我有以下几点的运用的方法，可以供读者参考使用。

一、数形结合在函数问题上的运用

函数问题一直是高中数学的重中之重，也是高考的必修的内容。所谓“函数”，在数学中的定义是：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现在将对应的定律f应用于A中的元素x，表示为f（x），并且获得另一个集合B.假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们称这种关系为函数关系，简称函数。所以，由函数的定义可知，函数问题与数据之间有着很强逻辑关系，还包括了基本函数、多项式函数等等。在解决函数问题时，我们可以使用“数形组合”的方法来激发学生思考。从图形入手，运用发散思维去找到其中的解题方案。那么，我在此给出一个例子来帮助读者来理解数形结合的运用。如题目：“已知x属于（2，4）问：f（x）的最小值为多少？”在这个题目中，我们可以巧妙的利用一元二次函数在坐标轴上的图像来解决问题，把这个函数的图像画在坐标轴上，就明白了函数的趋势和它的特殊点的位置，那么，函数在定义域中的最小值也可以很清楚的得到了，大大的简化的解题步骤，何樂而不为呢？

二、数形结合在方程中参数问题上的运用

随着新课程理念在教育中的不断推进和深化，如何使学生明确数学学习的主要目标，对于不同种类的题目、不同类型的题型，形成自己能够灵活运用的解题方法，逐步完善自己的解题思路，全面发展自己的数学思维，提高学生自主学习的能力就成了老师、学生最关心的问题。众所周知，方程中的参数问题一直都是考试的重心。它是培养学生抽象思维能力和新型问题的一种手段，有助于培养学生的逆向思维和发散思维能力。那么，在参数问题中如何利用“数形结合”这一方法去思考问题呢？在此，我不妨也来举一个参数中的例子来说明观点。

比如题目：“如果√2x+1=x+m的等式有两个不同的实根，那么找到m的值范围。”在这道题目中，最让老师和学生头疼的就是如何处理这个关于x的方程。根据标题，该等式包含两个字母x和m，其中x是未知数，m是未知参数，对于此，我们可以将m视为已知数，则x为未知数，并且因为这是一个等式，所以左侧和右侧相等，并且使用“数形组合”的思维方法，我们在这里可以假设左边的根式为f（x），右边的方程为g（x），那么，就成功的转化为了f（x）=（x）的形式了，在数值轴上，我们可以很容易地绘制f（x）和g（x）的图像。底数为2x+1的函数，g（x）是一个斜率为1且截距为m的直线，在xoy轴上，要使左右两边都相等，那么一定是两个图像有至少一个公共点，只有这样才满足是有根的条件，所以，思考到这里，我们便把一个数字性的函数问题转化为了一个结合图像处理的问题了，使问题简单化，明了化，便于学生理解和分析。这个问题是典型函数，方程和不等式的综合问题。“数形组合”有利于思想的发展，解决问题的过程清晰易懂，并能快速找到解决问题的方法。

三、数形结合法在集合问题上的运用

在整个高中数学教学过程中，首先要揭示的关键知识之一就是“集合”。集合问题通常都是需要结合图像去解决的，比如我们都很熟悉的Venn图，数轴区间等等，所以由此可见，数形结合在集合问题也是有着广泛的运用。下面，我也举出一个例子来具体说明在集合中的用法。比如题目：“设集合，Q={x/x≤1}，p={x/x2-3x-4<0}求出x的取值范围。”本主题中提到的问题是P和Q的集合，所谓的“集合”是元素即是P的元素，也要是Q中的元素，然后我们再来看看已知条件，由条件知是给出了P和Q集合的两种集合表达形式，根据“数形结合”的方法，我们可以先在xy轴上对P集合化简，使它的集合表达形式与Q集合的集合表达形式一致，那么由一元二次函数在图像上的画法，我们可以做出P集合的范围，同时把这个范围做在一条新的数轴上，再把Q集合的范围也做在这条数轴上，观察两个集合包含了哪些区域和哪些特殊点，便写出了P和Q的并集了。数形结合法是每一个合格的高中生应该掌握的数学方法之一，“数形结合”的形成基于数学知识、数学学习策略和数学方法的整合。在高中数学教学过程中，运用数形结合法开展教学，可以大大节省问题解决时间，提高解决问题的效率，并且可以提高学生解决问题的能力。

四、数形结合在线性规划问题中的运用

数学知识中有一个非常有用的知识点，即“线性规划”。运用“数形结合”的方法，同样可以获得不一样的收获。此处，我也举出一个例子来加以佐证观点。比如题目：“工厂打算生产A和B两种促销产品。每件产品的销售收入分别为3000元和2000元。产品A和B需要在A.B.对两种设备的处理，每个A和B处理一片A所需的工作时间分别为1小时和2小时。处理一个B所需的工作时间分别为2小时和1小时。如何安排生产可使收入最大？”这是一个应用程序问题。对应的我们可以列出关系式：x+2y≦400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，目标函数是z=3x+2y，要求出适当的x，y，使z=3x+2y取得最大值。从“数形结合”的观点可以先绘制了可行域，当然直线应该与可行域相交，即当满足约束时，目标函数z=3x+2y取最大值。由此可见，数形结合在线性规划问题中也是很重要的，我们在开展高中数学教学过程中，在教学有关线性规划的问题时运用数形结合法是很不错的一个选择。

总而言之，“数形组合”的最大作用是发展和优化学生的数学认知结构。数学认知结构是学习者心中的数学知识结构。好的数学认知结构，可以便于学生提取有用的信息，考虑解决问题。形状直观地反映了问题，数据暗含了问题的本质，数形和数字取长补短，优势互补。数形结合法在高中数学中的运用方法还需要教师和学生一起在教育过程中不断探讨。