2018年江苏省数学高考试题评析及教学启示*

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(常熟市教育局教学研究室,江苏 常熟 215500)

1 总体评价

2018年江苏省数学高考试题遵循了国家教育部制订的《普通高中数学课程标准(2017年版)》和《2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明》(以下简称《考试说明》)，继续秉承“原创为主，改编为辅”的命题理念，延续了“注重基础，贴近课本，多题把关”的命题风格，原创题能围绕考生熟悉的情境来设置，改编题多来源于教材及通用复习资料．在保证检测“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动)的前提下，突出考查了“四能”(发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力)，体现了“能力立意”的命题原则，诠释了数学课程的目标．

本着“平稳中有变化，平和里有创新”的原则，命题组对试卷的结构和难度把握得非常到位．试卷结构平稳有度，知识点的考查顺序和模拟卷基本一致，题目由易到难的过渡比较自然，基础题和中档题所占比例较大，使学生能拿到大部分分数，中高档题注重对问题本质和思想方法及运算能力的考查，区分度恰当．试题呈现方式常规，问题情境贴近实际，符合学生的认知水平，尊重教师的教学习惯，没有出现像2017年的部分题目存在“情境怪”“知识点擦边”“语言晦涩”等现象，更有利于学生渐入状态，稳定发挥，有利于正确选拔出不同层次的人才．从考后的反响看，社会各界反应平稳，圈内专家对试题赞赏有加，无疑是成功的．

从内容上看，试题涉及的知识点宽泛，重难点突出，层次分明，难度呈阶梯式上升，配图清晰明了，易于上手．对《考试说明》中的8个C级考点进行了全面反复的考查，也基本覆盖了B级考点和兼顾了A级考点，体现了力求全面、突出核心的特点．对主干内容如函数、数列、解析几何、三角等都作了重点考查，这与日常教学十分吻合，体现了课程、教学、评价的一致性．

填空题第1～10题和解答题第15，16题是基础题．对基础题的考查延续了前几年紧扣教材、考查单一知识点的习惯，以课本概念和习题为命题切入点，考查数学的基本概念、定理和公式．几乎所有的基础题都能从教材中找到相近或类似的问题，不管是问题模型还是计算过程，都充分顾及了考生的心理，立足平稳，未设障碍．

填空题第11～13题和解答题第17，18题是中档题．考点集中在B级、C级知识点上，如“解三角形”“基本不等式”“直线与圆”“函数的性质”“平面向量的数量积”，注重对数学思想的考查，强调多种知识的融合，解题思路灵活，方法丰富．从各个角度都能体会问题的深意，从不同的解题方法上能凸显能力的差异．此外，试题依然对运算提出了较高的要求，贴合了核心素养的理念，使优秀学生能脱颖而出．

填空题第14题和解答题第19,20题是高档题．考点集中在“导数”“数列”等传统难点上，突出考查问题的本质，对数学抽象及逻辑推理能力有很高的要求．题目设置上充分尊重学生的答题习惯，大题均采用分层设问的方式，起点适当，层层递进，螺旋上升，让不同层次的考生均有所收获，既增强了学生的解题信心，又有效地区分了学生的思维水平和数学应用能力，符合新课程的理念．

2 特点与亮点

2.1 低起点,高观点

试题做到了立足教材、严格遵守《考试说明》．许多试题的命制都立足于较高的数学思想和观点，同时考虑到学生的心理，特意将试题的起点放低，严控难度，呈现方式尽可能给学生以亲切感，使学生能顺利解决．

比如第2题考查复数的实部，从高观点下看，条件中的复数相乘本质上是旋转，了解本质的学生可以不通过计算仅凭观察就得出答案；第18题解析几何题，学生若了解圆的切线、椭圆的切线、包络线等内容，可轻而易举地解决；第19题点“S”的本质是两曲线与它们的公切线的切点重合时的横坐标，有着很深的背景和很高的思维要求．首先，指对数函数如y=ex和y=lnx的公切线问题如何等价转化是一大难点;其次，当切点不重合时，往往会出现“隐性零点”．鉴于此，命题组对条件作了约束，使切点重合后就显得容易多了.另外，试题严格控制了“最值”“范围”问题的数量，有意降低了解题的门槛，如第18题解析几何第2)小题的第②问，给定三角形的面积求直线方程，回避了求面积取值范围的问题．

2.2 轻表面,重本质

和2017年不同，2018年许多试题的呈现形式给人一种似曾相识的感觉，好多问题都是对现有题目进行了适当的改编．虽然试题表面上比较熟悉，但这并不表示学生仅凭模仿、记忆就能顺利地解答．江苏省苏州市教科院的吴锷老师曾经说过：“很多试题都是通过对现有问题进行加工、重组而得的，问题载体的形式并不重要，重要的是问题中体现出的数学思维和创新能力”．本试卷正是体现了这种“轻表面、重本质”的理念，让学生从熟悉的情境出发，考查其思考、运算和综合化归能力，使选拔更加真实、有效．

图1

2.3 淡热点,强思维

相比较前几年，命题组更注重对数学方法和数学思维的考查，不少试题都改编自课本，尤其是具有较强探索意义的开放性问题倍受命题组关注．相反，对许多被教师广泛关注的热点问题模型，则有意淡化或回避，如近几年炒得火热的隐形圆、极化恒等式、极值偏移点、圆锥曲线中的定点定值等．这样的命题方向无疑是正确的，它能更好地为优秀学生提供发挥的空间，也体现了公平公正的选拔原则．

再如第14题：“已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*}，B={x|x=2n,n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为______.”此题呈现问题的载体都是学生熟悉的，但学生在处理时却能深刻感受问题的深意，因为无现成模型或规律可寻，所以要深入思考并体会数列的特征才能找到解题的方向．

这两个例子突出反映了试题对数学运算、逻辑推理的较高要求，能较好地观察出学生对数学问题的感悟能力及在数学应用上的综合能力，正确区分优秀生和后进生．

2.4 明趋势,求创新

除了对课本题进行改编外，本次考试还有不少题目改编自外省的模拟题或数学联赛试题，可以看出命题组在坚持平稳的方针下也追求适度地创新．种种迹象表明，竞赛题改编成高考压轴题或是将来命题的一大方向，命题的趋势正向着多角度、多元化的方向发展．

比如：第18题是改编自2015年江苏省数学竞赛初赛试卷上的解析几何题，首次考查椭圆的切线问题，改变了以往求交点、面积范围、定点定值等问题的常规套路，有一定的创新，综合考查了学生分析和解决问题的能力，对运算求解能力要求较高，具有良好的区分度．从教学实际来看，虽然直线与椭圆相切的问题有着很深的几何背景和意义，但由于种种原因一直被师生忽视，不断被边缘化，这次在高考中出现，势必会激发各界对此类问题的研究和探源．事实上，在前不久的江苏省苏州市期末试卷命题过程中，曾经编出过一道类似的问题，但没有采用．现将试题呈现如下，仅供参考．

图2

1)求直线m的方程；

2)求证：PF⊥QF．

另外如第19题第3)小题：“对任意a>0，判断是否存在b>0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在‘S点’，并说明理由.”这样的设问方式在竞赛中能觅得踪影，值得研究．

3 不足与改进

1)重要知识点的考查不均衡.

本次考试在C级知识点考查的分布上，还不是很均衡．比如：平面向量在考纲中明确要重点考和反复考，然而试卷中仅仅第12题中以载体的形式出现了一次数量积，没有考出向量的核心概念及作用，缺乏向量题该有的“味”．笔者认为，命题组还是应当继承传统，在向量核心知识点和方法上多做文章，考查学生对向量的几何认识和利用向量工具解决其他问题的能力，这样才能体现出向量工具的真正价值．如2016年的“数量积运算”和2017年的“平面向量基本定理”，都体现了重视“四基”和发展“四能”的理念．

2)部分试题打磨得不够精细.

大部分试题都符合课程理念，具有较好的选拔功能，但也有极个别的题目，似乎打磨得不够精细，稍稍影响了学生的解题效率．

比如第11题：“若函数f(x)=2x3-ax2+1(其中a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为______.”本题形式上有误导的嫌疑，因为看见求f(x)的最大值与最小值之和，数学素养好的学生会想到去研究三次函数的对称中心，却徒劳无功，而稍差的学生反而不去多想，老实算出最大值和最小值后得出结果．如果因为好学生的奇思妙想导致比差学生花的时间更长，这显然有悖于命题的初衷．笔者认为可将表达式进行修改，比如只求最大值，或者将表达式修改为“f(x)=2x3-ax+1”，让学生能从对称、平移的角度来处理问题．

4 思考与启示

2017年江苏省数学高考的社会反响较大，而2018年则比较平稳，最大的原因在于学生对题目情境比较熟悉．为什么学生“不怕难题，而怕新题”？原因在于学生对问题背景的不熟悉和本质的不理解．这里面有课程设置的原因，也有八股式考试带来的弊端，在这样的指挥棒下，每道题目的题型和难度被人为控制，部分本应是重点的知识点被边缘化，学生对章节的了解是碎片式的，知识的记忆浮于表面，不懂本质的现象比比皆是．因此只要稍稍改变试题的面孔，就会“吓”死一大片．但目前制约命题的因素有很多，试卷的结构不是说改就能改的．既然不能改变高考，那就尝试改变我们的日常教学，在此提3点建议．

1)重视课本的导学作用,提升学生的核心素养.

高三复习要立足于课本，而不是立足于复习资料．要重视教材的导学作用，注重“通性”“通法”的指导和研究，重视数学思想方法的渗透和提炼，让学生充分了解题目的特征，形成处理问题的方法模型．要引导学生通过反思、总结、引申和提炼来深化对知识的感悟，避免以“刷题”“死记硬背”等来应付学习．

2)重视数学知识体系,防止教学中心偏移.

高三复习要兼具全面性和系统性，一方面要研究教材，注意知识点的遗漏，另一方面也要研究历年高考中的常见考点，来构建完整的知识结构体系.这些体系的构建，能让学生明白常考问题的类型，消除恐惧心理，也能提高教学的针对性，增强有效性．

3)重视多视角下的一题多解,引导学生掌握本质.

教师上课应注重启发与诱导，试题的讲评不能只看标准答案，要重视从多个视角看待问题：如第13题，可以从图形作图、建系、解三角形、向量等多角度去分析，把“讲题目”变成“讲知识”，做到举一反三、触类旁通．同时，要注意把学生的主动权还给学生，学生能讲的教师不讲，学生能想的教师不替学生想，让学生动起来，营造充满活力的课堂，真正发挥学生的主体作用，提高学生的思维能力，做到“教有特色，教有文化，教有效率”．