低起点 小台阶 高落点——高三数学平面向量复习课引发的思考

浙江省杭州市富阳区新登中学 汪道智 (邮编：311404)

近日，笔者所在学校组织了针对高三年级数学教学的调研课.在这次调研中分别由两位教师授课，一位是第一次带高三的年轻教师，另一位是有着多年带毕业班经验的校骨干教师.两位教师上课的均是关于高考中平面向量问题的复习课.听课过后笔者对两位教师的教学过程以及对例题及其变式的处理方法产生了诸多思考.下面以案例1和案例2的形式给出这两节课的部分课堂教学简录及观课后的所思所想.

1 课堂教学简录

案例1 (年轻教师的部分教学过程展现)

师：平面向量是浙江省高考数学考查的重要内容之一，而且近几年来对平面向量的考查越来越灵活，解法多变，让人回味无穷.下面先来看一下这道经典例题：

例1 已知a、b是平面内两个相互垂直的单位向量，若c满足(a-c)·(b-c)=0，则c的取值范围是______.(2008年浙江省数学高考理科试题第9题)

师：(让同学们思考片刻后)下面请一位同学来说说解题思路.

图1

易求得C的轨迹是圆，再求出c的取值范围.

师：很好，本题有建立坐标系的条件，利用坐标是解决平面向量问题的重要方法.再请一位同学说说看？

生2：由已知条件构造图形，如图1： 令

师：这位同学回答得非常清晰，利用数形结合的重要数学思想来轻松构造出C的轨迹是一个圆，很容易就得到结果了.

评注 教师通过一道典型的向量问题，引导学生利用向量本身的几何特征构造图形，再利用相应的几何关系使得问题轻松解决.此例题起点低，部分学生在教师给时间思考的过程中已经能独立解决，在教师讲解后理解更加透彻.

接下来，授课教师呈现了下面这道变式题.

变式 已知a、b是平面内两个夹角为600的单位向量，若c满足(a-c)·(b-2c)=0，则c的最大值是__________.

图2

师：请同学们自己动动手试试看.(在同学做题的过程中，笔者起身观察了学生的解题情况，一部分仍然用的是建立坐标系的方法，还有部分同学试图用数形结合的方法，却在画图时出现了困难.教师在提问了两个同学之后，一位学生提出用坐标法，另一位回答试图构造b-2c，突然卡住了，教师只能自己讲解了).

评注 这道变式题展示后，授课教师给了学生3分钟左右的时间思考，最终学生没能在几何法上寻得突破，能做出的同学用的还是坐标法.显然没有达到教师课前预设的那样，通过例1 的讲解使学生掌握用数形结合的思想来构造出一个圆来.教师讲解之后学生方才有种恍然大悟的感觉.

之后教师给出了这一类问题的一般形式让学生思考总结：

已知a、b是平面内两个夹角为θ的单位向量，若c满足λa-mc·βa-nc<0m≠0,n≠0，则c的最值是__________.

评注 教师通过例题和变式的分析讲解，之后能再给出这一类题型的一般形式让学生思考总结，使学生做一题，会一类题，使课堂效率大大提高.然而，大部分学生在解变式题的过程中的表现不尽人意，让授课教师以及笔者产生了一些疑惑，是学生不够聪明还是题型的设计欠妥？

师：接下来我们看一下这道题：

例2 记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a、b、c满足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2，则( )

(2017学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷第9题)

生：由已知条件：|a|=|b|=a·b=2，易知=600，可建立如图所示坐标系,则

设c=(x,y)，由c·(a+2b-2c)=2，

师：很好，这位同学用坐标法先求得点C的轨迹是一个圆，再利用图形解题.同学们还有其他的想法吗？(后面的情况与学生在前面出现的情况类似).

图3

教师给出下面的解法：

评注 这道题其实是例1及其变式的加深，学生在构造向量上面有了想法，却又在另一个问题上遇到了困难，那就是学生没能够想到同起点两个角度不定，模长不定的向量数量积问题可以利用极化恒等式这一工具来解题.

2 课后感悟

高三复习课重在高效，教师要在高三复习教学中引导学生重视基础知识，重视知识之间的联系，重视对数学问题本质的理解.怎样才能做到让学生在数学课堂中能更高效的学习呢？下面结合案例1所展现的教学过程以及过程中学生所出现的种种问题来探讨高效课堂应该做到的几点要求.

2.1 低起点

在高三的复习课中经常会上一些关于某一考点的专题课.在这样的专题课的例题选择时要重基础.不能想当然认为所讲知识是以前的学过的内容，一上课就急于展示难度较大的题型，以为这样可以培养学生的思维能力，殊不知学生的思维是需要循序渐进的.片断1的教学上，教师在引例1的选择上，难度较低，学生马上就能通过圆的几何意义来解决问题.而在例2的问题处理上，教师设计的本意是在例1以及变式的基础上再进行难度加深，发散学生的思维，但学生所想到的方法仍然是坐标法来处理，并没有按照教师课前所预设的那样去思考问题.的确本节课虽然是高三平面向量复习课，但是学生对教师所预设的利用极化恒等式产生点C的轨迹是圆的方法还是陌生的，对教师所讲的方法感觉有点突然甚至不是很接受，学生会感觉坐标法也不麻烦，极化恒等式的方法想不到.其实教师如果在例2之前能够先让学生解决这样一道习题，学生自然能够想到极化恒等式的几何意义来处理例2了.习题如下：

解析

评注 本习题设计意图是让学生通过本题的铺垫，在解决例2的过程中能想到点C的轨迹是以F为圆心的圆.从而通过图形去解决问题.

2.2 小台阶

教师在高三习题课中经常采用变式教学，通过对经典的数学问题进行多维度的变式探究来提高课堂效率.然而，变式探究的过程中要注意题目之间的联系和跨度，台阶要小，要做到自然过渡从而发散学生的思维.如本节课在引例的变式2的问题上，学生在课堂中没有能够达到教师预期的效果值得探讨.课后与教师探讨为什么会出现这个情况呢？关键在于前面的例题中所涉及的条件c的系数为1，通过向量减法的几何意义构造图形.而变式题的条件突然变成(a-c)·(b-2c)=0，在上课过程中我发现许多学生试图画向量b-2c，而c是不确定的，所以学生无所是从.造成这样的原因就是在于台阶还是稍微大了一点，学生的思维难以跨越.探讨后，我们一起设计了这样一题：

2.3 高落点

高三复习课，最终的目标是指向高考，浙江省高考卷在平面向量的问题的考查灵活多变，好题层出不穷，所以一堂课最终的落点决定了一堂课的高度.在这一点上案例在例2的设计中堂课上体现了高落点这一原则.不得不说杭二模的这道平面向量题出得非常漂亮，一是能用建立坐标系的方法来解决，体现向量问题的代数化，又可以用极化恒等式的这一重要工具来解决，体现数形结合的重要数学思想.让学生体会到，高考难题来源于教材而高于教材的道理.课后调研交流中有教师提出此题的第三种解法，利用三角不等式来解决，但在课堂上没有体现，感觉遗憾.但笔者认为授课教师未在本节课中讲解此题是有道理的，一堂课不可能把所有的好的方法全部呈现，本节内容最主要是体现高考中平面向量与圆相关的问题，在课堂上自然不需要讲解此方法，高效课堂本应做到主题明确，落点到位.

案例2 (骨干教师的部分教学过程展现)

师：近几年，浙江省高考对平面向量问题的考查难度较大，题目灵活多变.在考查的问题中经常出现以圆为几何背景的平面向量题，我们先来看这样一个问题：

例：设A(-2，0)、B(1，0)，且AP=2BP，则求点P的轨迹方程.

师：很好，生1通过坐标法求得P的轨迹是一个圆，其实这个叫做阿波罗尼斯圆，它的特点是到两个定点的距离之比是一个常数K(K大于0且 不等于1).我们用几何画板来呈现阿波罗尼斯圆，同学们来体会一下，如何快速的画出满足题意的圆.

师：原来点P轨迹就是以定比为2内分点C和外分点D的两个分点的连线为直径的圆.

评注 教师用几何画板来呈现阿波罗尼斯圆的画法，为后面的变式做了一个很好的铺垫，学生不用每次花费大量时间来求点的轨迹方程.

师：好下面我们来看下面这道题：

变式1 已知平面向量a、b，满足b=3，a=2b-a，则a的取值范围是__________.

打好防范化解重大风险、精准脱贫、污染防治的攻坚战是以习近平同志为核心的党中央为决胜全面建成小康社会作出的重大决策部署。今年4月，习近平总书记主持召开中央财经委员会第一次会议，明确提出了打好三大攻坚战的思路和举措。财政部门要认真学习贯彻习近平总书记重要指示要求，深刻领会打好三大攻坚战的深远意义，充分发挥财政职能作用，坚决支持打好三大攻坚战。

图4

很好我们再来看这样一道题：

(2016学年杭州市第一次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷理科第15题)

师：由已知条件我们能得到哪些信息？

评注 本题是2016学年杭州市第一次高考数学教学质量检测的压轴题，难度较大，但在授课教师的一步步铺垫下，顺利地达成了高落点的课堂教学效果.

在案例2的教学中，教师在介绍完阿氏圆的基础上让学生解决这样一道向量题，过渡自然，充分体现了小台阶，小台阶正是学生的学习最近发展区的体现.学生刚刚好可以把新学的阿氏圆的画法利用起来，激发了学生的学习兴趣，同时又为后面的高落点的向量题做好了铺垫.后面杭一模这道例题的选择，考查了向量问题的多个知识点，学生没有一定的功力是无从下手的，这就需要教师在平时的教学中注重数学知识之间的联系，提高学生对数学问题的整体的认识.

3 结束语

数学教学的终极目标是培养学生的数学核心素养，而高效课堂才能真正将核心素养落实到位.这就要求任课教师能够充分利用课堂时间，通过优化各种教学途径，高效整合教学环节，使学生在课堂上能高效学习.尤其在高三专题课的复习中，不能急于求成，一开场的例题就让学生感觉到无从下手，从而渐渐对数学失去信心与兴趣.低起点的例题有利于学生巩固基础知识，小台阶的变式有利于学生慢慢体会知识之间的联系，高落点的落实能让学生发散数学思维，提高解题能力.