慧眼看真相

徒旭波

[摘 要] 学起于思，思源于疑. “思”是学习的重要方法，“疑”是启迪思维的钥匙. 本文以教学中的实际案例来探析如何“预设”质疑点，以及如何把握随堂“未预设”的质疑点，以提高学生的质疑能力.

[关键词] 数学教学；质疑能力；培养

古人云：学起于思，思源于疑. “思”是学习的重要方法，“疑”是启迪思维的钥匙. 教师在平常的数学教学中要摒弃“一言堂”，放下“权威”，营造学生“敢言”“敢疑”的学习氛围，激发学生学习的热情，培养学生良好的思维习惯.

案例1 2=4？

在“一元一次方程的解法”学习后，设计一道题的解答过程.

解：2（x-2）=4（x-2），两边都除以（x-2）得2=4，所以方程无解.

师：上述解答对吗？

生1：对吧，步骤上应该没有问题.

生2：好像不对，我解出来有解，但我不是这样解的.

师：你怎么解的？

生2：先移项，再提取公因式得-2（x-2）=0？摇，即x-2=0，x=2.

师：你解得步步在理，但他的解法看上去也没有什么不妥，究竟错在哪里？

生3：我发现一个问题，x=2是方程的解，那么x-2岂不是等于0，两边是不能除的！

师：为什么不能除？

生3：因为等式的两边同时除以不为零的整式，等式仍成立，否则等式不成立.

师：找到问题所在了，就是在运用等式基本性质进行等式变形时忽略了限制条件，导致求解方程出错. 事实上，数学有一些性质、定理、基本事实都是有前提条件的，同学们在今后的学习中要精益求精，不可模糊记忆，要正确理解.

探析 本题为预设的质疑题，以谬论对学生的思维构成强烈的冲击，让学生从解题依据上质疑，创造一个质疑的空间，在不断的追问中让学生发现问题，追溯错误的源头，揭示问题的本质在于方程变形时所依据的前提条件被忽略了，导致谬论的出现.

案例2？摇 所有三角形都能证明是等腰三角形.

学习了等腰三角形的内容后，笔者在一次复习课上，引用了一道网红题.

师：今天我给大家带来了一道有趣的问题，曾经有人扬言：所有的三角形都能证明是等腰三角形，而且还非常严谨地证明了一番. 现在我来转述一下过程.

证明：如图1，作∠BAC的平分线，BC的中垂线交于点G，过点G作GE⊥AB于点E，GF⊥AC于點F.

因为∠EAG=∠FAG，∠AEG=∠AFG=90°，AG=AG，所以△AEG≌△AFG（AAS），所以AE=AF，EG=FG.

因为GD垂直平分BC，所以BG=CG，所以Rt△GEB≌Rt△GFC（HL），所以BE=CF，所以AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

师：怎么样？上面的证明从头到尾，合情合理，太匪夷所思了. 但是同学们你们认为这个结论正确吗？

生1：这不可能正确.

师：那问题出在哪？你们试着想想看.

学生们或盯着黑板反复看步骤，或拿起笔在草稿纸上依样画葫芦，只有极少数的人开始慎重地用工具严格作图，过一会儿，一个学生开口了.

生2：老师，奇怪了，我作出来的图和你黑板上的不太一样.

师：哦？你是怎么画的？

生2：我很严格地用尺规作了角平分线和中垂线，但是交点总是在三角形的外面.

师：真的吗？我们不妨一起来作作看.

于是，借助工具在黑板上准确作图（如图2），重新证明.

可证AE=AF，那么AB>AE=AF>AC，显然结论不成立.

师：那么既然我们通过画图可以获知交点总在外面，是不是也可以通过推理证明来解释这一现象呢？

师：大家有没有发现最终两线交点的位置实际上与BC中点D的位置有关，那么点D的位置如何确定呢？

生3：若点D在点H的左侧，交点必在外面.

师：很好，也就是要证明BH>HC.

……

最后师生共同探究用面积法（图3），证明了BH>HC，即角平分线AH与BC的交点H与点A位于BC中垂线的同一侧，故与中垂线的交点在三角形外部.

探析 本题为预设的质疑题，从画线构图上质疑，选择一个经典的几何谬论，激发学生多角度质疑. 从推理过程中根本找不到漏洞时需要转变质疑的方向，利用工具作图发现问题所在，因势利导，再度发问：交点在外面是否可以通过推理论证？在不断地提出问题，解决问题的过程中培养、发展和提高学生质疑能力和思维品质.

案例3？摇 奇怪，64=65？

一次市级公开课上有教师设计了一个有趣的问题，这是一道图形面积的问题，神奇之处在于通过一剪一拼，最后面积居然变多了？下面我们一起来见识下：把图4中8×8的正方形分割成四块，然后拼成右图所示的图形，算算两者的面积，你发现了什么？

生1：左边是64，右边是65.

师：可能吗？

生2：不可能啊，虽然剪开再拼，但是面积不会变的啊？奇怪了！

师：既然不可能，那么问题肯定存在，问题在哪？

生3：我们可以用方格纸剪一剪，试着拼拼看吗？

师：当然可以，大家也可以一起操作试试.

过了一会，同学们惊喜地找到了答案.

生4：拼图有问题，中间有空隙，直角三角形的斜边和梯形的这边根本不在同一条直线上，原来我们被忽悠了.

师：确实如此，你们通过动手操作实践找到了破绽之处，很棒，那能否通过计算来解释呢？

生5：只要说明三点不共线就可以了.

师：如何说？

生5：分别求AB，BC，AC，可得AB+BC>AC，即证.

生6：也可以建立直角坐标系，求AB解析式，再验证点C不在直线AB上.

生7：∠ABD≠∠BCE，就可以说明三点不共线的.

……

探析 本题为教师预设的质疑题，从眼见为实上质疑，运用教学辅助工具让学生亲眼看见了图形的剪拼过程，却不可思议地发现面积多出来的结论. 抛疑激思，让学生在实际操作中寻找破绽，推波助澜，在肯定学生做法后引導学生还可以通过数据结合计算等手段进行质疑.

案例4？摇 莫非证明了勾股定理？

在“三角形的内切圆”一课新授后，求直角三角形内切圆半径时，有两位同学用不同的方法得到两种不同的结果.

生1：由面积法得r= .

生2：由切线长定理得r=.

学生疑问：同一个圆怎么会得到两个不同的答案？

学生争论：是否有一个答案算错了？

于是大家都验算一遍，发现没有问题.

生3：这两个答案在数量上应该是相等的，是否是a，b，c 存在着某种数量关系？

于是师生共同板演=的变形过程，得：a2+b2=c2.

生（顿悟）：原来是满足勾股定理！

老师顿时察觉这是否可以作为勾股定理新的证明方法. 于是教师画弦图，重新展示了勾股定理的证明过程. 学生迷茫地看着老师，为什么在这里演示勾股定理的证明？

师：请同学们对比一下这两个过程，你有什么想法？

生4：老师的意思，莫非我们今天的发现，可以用来证明勾股定理？

学生顿时无比兴奋！

师（一时也没把握）：要证明勾股定理，则a2+b2=c2是要证明的结论，要避免以前循环论证的错误，就像以前我们部分同学犯过的错误，证明一个结论，无意识地把它当作条件，兜一圈，再来证明这个结论. 那么在这里需要明确的就是，我们两种结果的得出有没有用到勾股定理，如果用到了，再证明勾股定理，就犯了循环论证的错误了.

学生回到了两位同学的解答过程.

生5：两种都没有用啊！

师：切线长定理是否与勾股定理有关？我们是怎么证明切线长定理的？

生6：全等三角形！

师：哪种全等方法？

生6：HL.

师：HL的证明，是否用到了勾股定理？

此时的课堂众说纷纭，一石激起千层浪，争论在课后延续，思维在争论中成熟……

探析 此案例没有预设的质疑，题从逻辑推理上质疑，通过半径的两个推导公式引出的a2+b2=c2，是否真的又一次证明了勾股定理？解决这个问题的本质是挖出切线长定理，HL定理得到的依据有没有用到勾股定理，搞清楚整个论证的背后有没有循环论证，这样一个发人深省的疑问，可以让学生看得更远，想得更多. 在我们的教学中常有这种质疑片段出现，教师若能很好地把握，定能让学生不断触摸到数学的本质.

学生学会质疑、学会思考、学会学习，是我们教学所要追求的“诗和远方”. 如何设计引发学生质疑的问题，如何引导学生进行质疑，有效培养学生的质疑能力，我们一直在路上.