旋转变换在初中几何中的应用

赵珊珊

【摘要】初等几何变换中的旋转变换与中学几何教学有着密切的内在联系，而且随着新课程标准的实施，它在现行的中学教材中占有更加重要的地位.本文简述初等几何变换中旋转变换的相关内容，探讨旋转变换在初中几何解题中的应用.

【关键词】旋转变换；初中几何；应用

随着德国数学家克莱因（F.Klein）《埃尔兰根纲领》的发表，几何已经被视为在某种变化群下，研究图形的不变性与不变量的学科.基于图形的不变性，各行业均可以利用这一性质获得便利.现今，初等几何变换的思想影响着初中数学，并由此指导学生用这种思想来处理几何问题，已成为数学课程改革的趋势.而本文主要概述旋转变换的相关性质，并对它的相关应用进行举例说明.

我国对于平面几何教学的改革也在进行，但是改革的力度还不够，虽然在我国中学几何教材中已引入变换的概念，但与国际上数学教学的现代化教育进展的并不协调.

一、旋转变换与初中几何教学的联系

（一）介绍旋转变换的基本概念

初等几何变换一般包括合同、相似、反演变换，其中合同变换、相似变换与中学几何教学联系更紧密些.旋转变换属于合同变换.初中教材中，旋转变换单独列为一个章节，从直观到抽象，从定义到性质，有助于学生全面理解这一知识点.本文对于旋转变换的概述主要结合人教版九年级上册旋转这一章节的内容以及中考题型，为此，我们首先给出旋转变换的定义及基本性质.

定义（[1]）：设O为平面上一定点，φ为一个有向角，R是平面上的变换.如果对于任意一对对应点P，P′，通过变换R总有OP=OP′，∠POP′=φ，那么变换R叫作以O为旋转中心，φ为旋转角的旋转变换，记为R（O，φ）.

显然，旋转变换由旋转中心与旋转角唯一确定，并具有下列性质（参见文[1，2]）：

性质1当旋转角φ≠180°时，直线与其对应直线的交角等于φ.

性质2关于同一旋转中心的两个旋转变换的乘积仍是一个旋转变换.

性质3旋转变换的逆变换仍是一个旋转变换.

性质4非恒等的旋转变换只有一个不变点——旋轉中心，当旋转角φ≠180°时，旋转变换没有不变直线：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

（二）中学几何课程对于旋转变换的基本要求

旋转变换是国外数学课程不可缺少的一部分.日本的《数学课程标准》要求学生理解旋转变换并探究旋转前后两个图形的联系.美国的《统一核心州课程标准》中旋转变换同样存在.他们通过幻灯片的演示帮助学生更直观地了解旋转，最后通过实验的方式展现旋转变换的相关性质.

国内的《初中数学新课程标准（2011版）》中，开始明确提出单独列图形的旋转为一个独立的章节，要求学生通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.旋转出现在人教版九年级上册的第二十三章，通过直观的图形的旋转让学生认识旋转变换，并对它进行了具体的描述，同时由教师带领学生一起发现旋转的性质.

（三）变换思想与学生思维

初中生特征：思维比较敏锐、不完善、易受影响.他们正处于发展阶段，他们自身的认知结构和思维水平尚未完善，如若教师在这个时候对他们进行正确的引导，能为学生后续的几何学习提供很大的帮助.

因为初中生思维的发展特征，以及学习旋转变换需要的空间想象能力，使得学生在一开始接触这部分内容时将受到阻碍，所以作者认为在中学几何教学中结合教材内容，逐步向学生介绍几何变换的观点和方法，是必要的、可行的.它有利于培养学生对几何学习的兴趣和爱好，拓展思路，提高学生的分析和解题能力，它还在现代数学理论中发挥着巨大的作用.

二、旋转变换思想在初中几何问题中的应用

旋转变换就是以运动的观点去看待两个几何图形，即在变换下，一个图形变为另一个图形，这种观点是现代数学中很普及且重要的观点，与传统的静止观点相比较，有本质的区别.将这种观点运用到解决数学问题中，很多问题就有可能迎刃而解.

掌握旋转变换的思想，可以帮助我们从运动的观点制订解题方案.既可以提供思考途径，也可以提供解题手段.运用旋转变换思想，比较容易发现题设与结论之间的联系，想出如何对图形施行变位、变形的策略.通过规律性的认识，有目的地添画辅助线，更有助于揭示解题途径.

运用旋转变换进行解题的一般步骤，可概括为：

1.仔细读题，分析条件和问题；

2.认真观察图形；

3.用旋转变换思想来考虑解题思路；

4.灵活运用旋转变换的性质解题.

例如图所示，△ABD，△AEC都是等边三角形.求证BE=DC.

分析首先读题，由△ABD，△AEC都是等边三角形可知，这里涉及等边三角形的相关性质.紧接着我们由对旋转变换的敏感性发现△ABE有可能是△ADC旋转后的图形，由此我们可以尝试证明△ABE和△ADC全等.如若证出全等，则证出BE=DC.证明过程如下：因为△ABD，△AEC都是等边三角形，所以AD=AB，AC=AE.又因为∠DAB=∠CAE，而∠BAC是公共角，所以∠DAC=∠BAE.综合上述两个结论，可以得出△ADC≌△ABE，所以BE=DC（全等三角形的对应边相等），证毕.

总结运用旋转变换思想解题，能够帮助学生理清解题思路，使用简捷的方法解决几何类型题目中的问题.学习旋转变换的性质和意义，不仅能帮助我们更有效地解决初中几何问题，而且在思考其他的数学问题时也可以发挥作用.

【参考文献】

[1]邓鹏，康纪权，孙海.初等几何研究[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]宋芝业，纪志刚.《几何原本》与中国现代初等几何学科的兴起[J].自然辩证法通讯，2017（2）：17-21.