高三微专题复习模式探究——由《圆的方程》课例引起的思考

黄雅丽

【摘要】高三一轮复习的重点是以课程标准和考试大纲为依据，以教材为根本，意图在于加强双基教学，提高学生的解题能力，如何提高高三复习课堂的有效性是我们追求的目标。利用微专题复习模式，可以与专题复习相结合，不但可以提升学生的解题能力，也可促进教师本身的进步，真正做到教学相长。

【关键词】一轮复习 微专题 课堂有效性

【中图分类号】G633.41 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）13-0063-02

一、学情分析

《圆的方程》是高三一轮复习的一节课，本班学生基础较好，注意力能够较长时间集中，学习目的明确，对数学学习有浓厚的兴趣，前面已经掌握了直线与方程的内容，已经具备用代数方法解决几何问题的能力，能用数形结合的思想方法解决解析几何的问题。

二、课堂实录

师：上节课我们复习了解析几何中有关直线与方程的相关内容，理解了用代数的方法来研究图形的几何性质，进一步体会了数形结合的思想。在此基础上，这节课我们来复习圆的知识，进行一个专题复习——圆的方程。

我们先来看目标导引的问题：ΔABC的三个顶点为A（-1，2），B（2，1），C（3，4）。求ΔABC外接圆的标准方程。

师：如何求解ΔABC外接圆的方程呢？

生1：设ΔABC外接圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组，通过解方程组得解；

生2：设ΔABC外接圆的一般方程，列出关于a，b，r的方程组，通过解方程组得解；

师总结：上述两位同学用到的求解方法叫做待定系数法，两种方法中标准方程的运算量较大，一般方程更为简洁。

师追问：是否有其他方法可以解决这个问题呢？我们可否结合几何图形，从中确定圆的两大要素——圆心和半径。

生3：由AB，BC的中垂线的交点确定圆心，进而得到半径；

生4：结合题意可以证明ΔABC是直角三角形，确定AC的中点为此外接圆的圆心，进而得到半径。

师总结：上述两位同学用到的方法是几何法，通过分析几何图形，简化几何条件，确定圆心和半径。上述两种方法就是今天复习的内容。

师：请看例1：一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______

师：同学们用了哪种方法解决这个问题？

生1：可由任两边中垂线的交点来确定圆心。

师追问：椭圆有四个顶点选哪三个顶点呢？

生2：已知条件知圆心落在x轴的正半轴上，例如，对于ΔA1B1A2中垂线的交点落在y轴负半轴上；ΔA2B1B2中垂线交点落在x轴的负半轴上，以此类推，可以确定是ΔA1B1B2。

师总结：这题是求三个顶点确定三角形外接圆的方程。难点是四个顶点中选哪三个顶点，由已知条件圆心落在 轴的正半轴上，再结合图形分析，可确定三个顶点，又回到了目标导引的问题，这里不再重复。通过本道题，我们复习巩固了有关圆方程的求法，接下来我们进一步来学习圆及圆方程的简单应用。

师：请同学们继续看例2：已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.求：（1）y-x的最小值；（2）的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值

师：这是一道以圆的方程为背景，探求二元变量x，y的最值问题。求解最值问题的方法有哪些呢？

生1：函数法（消元思想）、几何法（关注目标函数及几何意义）、基本不等式（寻求和或积为定值）

师追问：那么你打算如何解决这个问题呢？

生1：以（1）问为例，t=y-x可表示直线与y轴相交的纵截距，当该直线与圆相切时的纵截距即为最大值或最小值。

生2：可从代数的角度解决这个问题，以（3）为例，结合圆的方程可得x2+y2=4x-1，，利用一次函数的单调性即可求得最值；也可结合圆的参数方程（θ为参数），利用三角换元转化为关于θ的函数，即可解决此问题。

师总结：刚才两位同学从几何和代数的角度分别对该题目进行了剖析，对于给定代数式几何特征较为明显的，用几何法来做；但若几何特征不够明显的，应从函数角度入手。

师：求轨迹问题的方法有哪些呢？

生1：直接法、定义法（几何法）、待定系数法、坐标转移法

师：用哪种方法取决于动点所满足的几何条件，若动点满足某种曲線的定义，则用定义法；若动点满足已知曲线类型，则用待定系数法；若动点的轨迹类型无法确定，则用直接法。我们来看例3：已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点。求线段AP中点的轨迹方程。

生1：设AP中点为N，N随P的运动而运动，N是被动点，P是主动点，可用坐标转移法来解决。

师追问：解决这类问题的策略是将被动点的关系转化为主动点的几何关系。除了上述方法，有没有其他方法呢？

生2：由AP为圆的弦且N为AP的中点可得ON⊥AP，即∠ONA=90°，可得N点的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆。

师总结：很好，这位同学能从图形出发，充分挖掘图形的几何特征，找到垂直关系，得到动点所满足的关系。

师追问：将此题做个变式：若∠PBQ=90°，求线段PQ中点N的轨迹方程。

师：这里是双动点问题，无法像上题那样直接求解，我们应想办法减少动点个数，将动点所满足的几何关系简化为与定点的关系，再进行求解。

分析：在ΔPBQ中，N为PQ的中点，可得：

由PQ为圆的弦，且N为PQ的中点，可得ON⊥PQ

即在ΔONP中，有：

即：

师总结：求解轨迹方程的方法有很多种，同学们应认真分析题意，作出几何图形，简化几何条件，选择恰当的方法解决问题。