一个教材习题的背景探究

广东省广州市南海中学(510160) 陈焕文

广东省顺德区杏坛中学(528325) 陈美茹

《课程标准》指出:不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容.建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.

作为代数主干知识的不等式,在历年的新课标高考题中都对其进行重点考察,内容涉及线性规划、解不等式和证明不等式等.

下面,我们以必修5《3.1不等关系与不等式》的习题A组题3为例,研究不等式的相关问题.

一、原题展示

已知x＞0,求证:

二、解题方法

必修5《3.1不等关系与不等式》中首先介绍了比较实数大小的基本事实:a−b＞0⇔a＞b;a−b=0⇔a=b;a−b＜0⇔a＜b.很容易想到用作差比较法来证明.

解法1(作差比较法)因为x＞0,所以所以所以

此外,不难得到以下解法:

解法2(分析法:选修2-2 2.2)要证:只要证:只要证:因为x＞0,所以显然成立.所以成立.

解法3(基本不等式:必修5 3.4)因为x＞0,所以即原不等式得证.

图1

解法4不等式的几何意义(也可看成是几何证明):如图1,在直角△ABC中,AD,AE分别是斜边BC上的高和中线,设DC=1,BD=1+x(x＞0),则由AD＜AE即可得到.

三、拓展与背景

略证设f(x)=(1+x)α−(1+αx),x＞−1,则f′(x)=α[(1+x)α−1−1],易得f′(0)=0,因为 0＜α＜1,所以当x＞0时,f′(x)＜0;当x＜0时,f′(x)＞0.所以当x＞−1时,f(x)≤f(x)max=f(0)=0,即(1+x)α≤1+αx对于x＞−1成立.

那么当α＞1时,不等式(1+x)α≤1+αx仍成立吗?我们采用从特殊到一般的思路来进行研究,比如α=2,α=3不难发现:(1+x)2=1+2x+x2≥1+2x;(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)≥1+3x.于是猜想:当α＞1时,(1+x)α≥1+αx对于x＞−1成立.其证明可以完全类似上述证明过程:

设f(x)=(1+x)α−(1+αx),x＞−1,则f′(x)=α[(1+x)α−1−1],易得f′(0)=0,因为α＞1,所以当x＞0时,f′(x)＞0;当x＜0时,f′(x)＜0.所以当x＞−1时,f(x)≥f(x)min=f(0)=0,即 (1+x)α≥ 1+αx对于x＞−1成立.

我们还可以进一步思考α＜0,情况会怎样?事实上,此时(1+x)α≥1+αx对于x＞−1成立,证法类似.

综上所述,我们会得到下面的结论:

定理1当0＜α＜1时,(1+x)α≤1+αx对于x＞−1成立;

定理2当α＞1或α＜0时,(1+x)α≥1+αx对于x＞−1成立.

上述结论就是著名的伯努利(Bernouli)不等式,而课本的这个习题就是Bernouli不等式的一种特例.从上述证明可以看出,该不等式是一个很基本的不等式,只要学习了函数与导数知识就可以证明(上述证明方法源自选修2-2习题1.3 B组题1).

Bernouli不等式的几何解释

记f(x)=(1+x)α,g(x)=1+αx,则直线g(x)=1+αx是曲线f(x)在点(0,1)处的切线,所以(1+x)α与1+αx的大小比较也就是看两个图像位置的“高矮”问题.借助几何画板我们可以得到三种情形的图像:

由图可知:当0＜α＜1时,切线g(x)=1+αx都在曲线f(x)上方(除切点外);当α＞1或α＜0时,切线g(x)=1+αx都在曲线f(x)下方(除切点外).

在定理2中取α=n,n∈N∗,得到

推论1当n∈N∗时,(1+x)n≥1+nx对于x＞−1成立.

对于推论1中的不等式(1+x)n≥1+nx,我们还可以再推广:

定理 3(1+x1)(1+x2)···(1+xn) ≥ 1+x1+x2+

···+xn,其中x1,x2,···,xn同号,且xi＞−1.

在定理1,2中令1+x=t,得到:

推论2当0＜α＜1时,tα≤1+α(t−1)对于t＞0成立;

推论3当α＞1或α＜0时,tα≥1+α(t−1)对于t＞0成立.

四、Bernouli不等式的应用

作为一个基本的不等式,Bernouli不等式在大学数学中扮演了重要角色,如求重要极限e,证明几何-算术平均值不等式:其中x,x,···,x为非负数.而《考12n试大纲》指出:(高考)考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平,以及进入高等学校继续学习的潜能.基于以上两点,不少的高考题和模拟题都以Bernouli不等式为背景:或是直接应用Bernouli不等式,或是研究Bernouli不等式,以此考查学生的数学思维能力和继续学习的潜能.下面,选取三个考题进行评析!

例1(2007湖北理科21题)已知m,n∈N+

(1)用数学归纳法证明:当x＞−1时,(1+x)n≥1+nx;

(2)对于n≥6,已知求证:

(3)求出满足等式3n+4n+···+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.

评析例1是以推论1为背景,研究特殊情形的Bernouli不等式.例1的(2)则是直接应用推论1的结论:当n≥ 6,m≤n时,由(I)得于是

例2(2006江西理科 22题)已知数列{an}满足:

(1)求数列{an}的通项公式;

(2) 证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·····an＜2·n!成立.

评析本题这也是Bernouli的一种情形,其证明可以参照湖北高考题,运用数学归纳法证明.定理3就是这道高考题的背景,第(2)问直接应用定理3即可“秒杀”.在 (1)中求得所以要证转化成证明由定理3得到:

例3(2012湖北理科22题)(1)已知函数f(x)=rx−xr+(1−r)(x＞0),其中r为有理数,且0＜r＜1.求f(x)的最小值;

(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则ab11ab22≤a1b1+a2b2;

(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当α为正有理数时,有求导公式(xα)′=αxα−1.

评析第(1)问以推论2为背景,第(2)问要用到(1)的结果(即使推论2):若a1=0或a2=0,不等式显然成立,若a1＞0,a＞0,在tα≤1+α(t−1)中令得:所以即

例4(2014安微卷理科21题)设实数c＞0,整数p＞1,n∈N∗.

(1)证明:当x＞−1且x≠0时,(1+x)p＞1+px;

(2)数列{an}满足证明:

评析第(1)问是选修4-5教材上的例题,证明贝努利Bernouli不等式,教材中给出的是数学归纳法证明(略).第二问则是应用贝努利不等式结论解决数列问题,体现了高考命题植根于教材又高于教材的特点.

五、反思与小结

波利亚说过:“一个有意义题目的求解,为解此题所花的努力和由此得到的结论和见解,可以打开通向一门新的学科,甚至通向一个科学新纪元的门户.”学数学离不开解题,但不能仅仅就题论题,课堂上老师可以努力创造一种“启发、诱导、探究”的环境,使学生身临其境地经历数学再发现和再创造的过程,使我们的数学课堂从以解题训练为主转向以思维训练为主.

东晋诗人陶渊明在《桃花源记》写到:“林尽水源,便得一山,山有小口,仿佛若有光.便舍船,从口入.初极狭,才通人.复行数十步,豁然开朗.”数学的美与文学的美是相通的,一道简单的习题背后同样别有洞天!我们何妨去做陶公笔下的那个“渔夫”呢!