高中数学中如何由递推关系求数列的通项

董根娥

（山西省大同市南郊教师进修学校，山西 大同）

类型一：累加法（型如：an+1=an+f（n））

以上n-1个式子相加得：an-a1=lnn，

又a1=2，∴an=2+lnn.

类型二：累乘法（型如：an+1=g（n）an）

【解析】原式可化为［（n+1）an+1-nan］（an+1+an）=0.

以上n-1个式子相乘，得

类型三：构造新数列法（型如：an+1=can+d）（c≠1 且d≠0）

例 3.已知数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

【解析】（an+1+λ）=2（an+λ），可得 λ=3

∴（an+1+3）=2（an+3）

∴数列｛an+3｝是公比为2，首项为a1+3=4的等比数列.

∴an+3=4·2n-1=2n+1

∴an=2n+1-3.

类型四：（型如an+1=c·an+f（n））

例 4.在数列｛an｝中，a1=-1，an+1=2an+4·3n-1，求通项an.

类型五：取倒数法

例 5.已知数列｛an｝中，a1=1，且当n≥2 时，，求数列｛an｝的通项公式.

类型六：取对数法

例 6.若数列｛an｝中，a1=3，且，求通项an.

【解析】由题意：an＞0，将两边取对数：lgan+1=2lgan

∴数列｛lgan｝是公比为2，首项为lga1=lg3的等比数列.

∴lgan=2n-1·lg3

∴an=32n-1.

类型七

例 7.已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），求通项an.

【解析】（an+2）2=8Sn①

（an-1+2）2=8Sn-1②（n≥2）

①-②得：（an+2）2-（an-1+2）2=8an，化简得：（a1+an-1）（an-an-1-4）=0.

∵an＞0 ∴an+an-1＞0 ∴an-an-1=4 ∴ 数列｛an｝是公差为4的等差数列.

又∵a1=S1=2 ∴an=4n-2

以上的类型是高中数列中已知递推关系求通项的常用类型，请同学们细心领会，认真掌握.