巧用学习材料，助力数学建模

陈明宽

【教学内容】义务教育教科书六年级数学下册第56页例1及相应的“试一试”、“练一练”，完成练习十三第1—2题。

【教学目标】

1.经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。

2.在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型，渗透函数思想，进一步培养比较、抽象、概括和演绎等思维能力。

3.进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

【教学过程】

一、复习铺垫

（同学们，将近六年的数学学习，你们已经了解了一些数量关系，让我们一起回忆吧。）

先列式解答，再說说它们之间的数量关系。

1.一辆汽车2小时行驶了120千米，平均每小时行驶多少千米？

2.一名打字员3分钟打字360个，平均每分钟打多少个字？

3.小红花了16元买了2支同样的钢笔，每支钢笔多少元？

小结：像“路程÷时间=速度，工作总量÷工作时间=工作效率，总价÷数量=单价”的数量关系中，路程和时间，工作总量和工作时间，总价和数量是两种相关联的量，它们之间存在很多的奥秘和特征，下面就让我们一起来研究吧。

【设计意图：通过几组数量关系的理解，使学生初步感知数量之间的联系。接着教师从“两个相关联的量”入手，让学生说说“关联”是什么意思，抓住与新知密切相关的生长点，为后续学习打好坚实的基础。】

二、探究新知

1.探究时间与路程两个量之间的关系

出示：一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表：

时间/时 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 80 160 240 320 400 480 ……

观察表中的数据，你有什么发现？（通过找一找、说一说、想一想、算一算等方式发现时间与路程两个量之间的关系）

预设：（1）行驶的路程随着时间的变化而变化。

（2）行驶的时间越长，行驶的路程越多；行驶的时间越短，行驶的路程越少。

小结：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。

2.探究路程和时间的变化有规律

提问：再仔细观察表中的数据，你有没有更多的发现？

学生通过计算、观察比值，发现规律，汇报小结。

师：比值都相等吗？（相等）那这里的比值80表示什么？

生：表示行驶的速度。

小结：所以说，在时间和路程这两个相关联的量变化的过程中，它们的比值（也就是速度）保持不变。相对应的两个数的比值都相等或固定不变，在数学上叫作“一定”。

提问：谁能用一个式子来表示这几个量的关系吗呢？

学生回答，教师板书：

=速度（一定）

3.揭示正比例的意义

师：像这样的路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应时间的比值总是一定（也就是速度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系。这就是我们今天要学习的正比例。（板书课题）

【设计意图：由于正比例概念比较抽象，而且是一种特殊的函数关系。通过找一找、说一说使学生体会到路程和时间是两种相关联的量，再通过想一想、算一算让学生发现路程和时间变化的规律，对学习中可能出现的情况进行预设，既凸显学生的主体地位，又突出本节课的教学重点，使学生在观察、比较、分析、归纳等具体活动中充分感知正比例的意义。在揭示出文字表达式后，帮助学生理解“一定”表示什么意思，并结合文字表达式说一说两种量的变化规律，促使学生对已经积累的感性认识进行抽象概括，为进一步揭示正比例的意义做好铺垫。】

4.正比例意义的应用

教学“试一试”：购买一种铅笔的数量和总价如下表。

数量/支 1 2 3 4 5 6 ……

总价/元 0.4 0.8 1.2

观察上表，并独立思考下列问题。

（1）填写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。

（2）写出几组相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。

（3）这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价、数量之间的关系吗？

（4）铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？

前后四人交流讨论这四个问题，并进行反馈。

购买铅笔的数量和总价是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化。对应的总价与数量的比值都相等，也就是铅笔的单价是一定的， 所以说铅笔的总价和数量成正比例关系。

【设计意图：重点放在从计算抽象出用式子“总价/数量=单价（一定）”做出解释上，让学生进一步结合具体的实例感知成正比例的量的特点，积累对成正比例的量的感性认识，为理解正比例的意义提供丰富的感性经验。】

5.建构正比例数学模型

提问：仔细观察例1和“试一试”，这两题数量之间的关系有什么相同的特点？

指出：这两个问题里都有两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化；两种量相对应的两个数的比值总是一定的，所以两种量都成正比例关系。

提问：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？

根据学生回答，板书：

=k（一定）（板书）

生活中还有哪些成正比例的量？

【设计意图：引导学生回顾例1和“试一试”的学习过程，说说成正比例的量有什么共同的特点，在充分交流的基础上，通过抽象和概括得到正比例关系的表达式，既可以促使学生主动把已经积累的感性经验上升为理性认识，获得对正比例意义的正确理解，又有利于学生初步感知数学抽象的过程和方法，体验符号化的思想，发展数学思维。】

巩固练习：张师傅生产零件的情况如下表。

生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？

结合上面的练习，小结判断两种量是否成正比例的一般方法。

（1）判断这两种量是不是（ ）的量。

（2）看这两种量中相对应的两个数的（ ）是否一定。如果（ ）一定，这两种量成正比例；如果（ ）不一定，这两种量不成正比例。

三、拓展延伸

1.做练习十第1题

学生独立判断，自己说一说理由。

全班交流，重点让学生说说为什么订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例，引导学生说出判断的思考过程。

2.做练习十第2题

学生自由读题，理解题意。

提出要求：

（1）想一想：将图中的正方形按怎样的比放大，放大后的正方形边长各是几厘米。

（2）画一画：在书上画出放大后的图形。

（3）算一算：算出每个图形的周长和面积，并填在表中。

（4）看一看：比较数据，看看表里哪个量和边长成正比例？说说判断的理由。

引导学生发现：正方形的周长与边长成正比例，正方形的面积与边长不成正比例。

明确：两种量若要成正比例必须是相关联的量，而且要当两种相关联的量对应数值的比值一定时，它们才成正比例。

【设计意图：紧紧围绕本节课的教学重点和难点，有层次、有针对性地设计练习，既有利于学生进一步加深对正比例意义的理解，掌握判断两种量是否成正比例关系的过程和方法，又有利于学生初步体会变量的特点，感悟函数的思想，发展用数学语言表达的能力。】

四、总结提升

提问：这节课主要学习了什么内容？通过这节课的学习，你有哪些收获？

引导总结：两种相关联的量，当一个量随着另一个量的变化而变化，且它们的比值总是一定，我们就说这两种量成正比例关系。在判斷两种量是否成正比例时，我们一要判断两种量是否相关联，也就是一个量是否随着另一个量的变化而变化，二看这两种量中相对应的两个数的比值是否一定。

教学反思：“正比例的意义”是一个对于小学生来说非常抽象的数学概念性知识。我在教学中调动了学生的生活经验，通过已经学过的数量关系来帮助学生理解数学概念，然后，通过例题引导学生主动概括出正比例的本质特征，完成对新知的建模。通过教学，我有以下几点反思。

1.学思而行

小学生学习数学是一个思考的过程，可以说，没有思考就没有真正的数学学习。本课教学中，我注意把思考贯穿教学的全过程。我出示书本例1的表格后，引导学生进行观察，并思考，表格中的两种量是怎样变化的？两种量之间有怎样的关系？你发现了什么？从而得出两个相关联的量，初步渗透正比例的概念。这样的教学，让全体学生在观察中思考，在思考中探索，在探索中获得新知，大大地提高了学习的效率。

2.让小组合作更有效

本课时的教学内容难度相对比较大，我本着“以学生为主体”的思想，给予学生足够的时间，通过找一找、说一说、想一想、算一算等方式在小组里进行合作讨论，从而让学生发现两种相关联的量的变化规律。事实证明，在本节课的教学中，小组交流发挥了很大的作用，我也努力做到学生自己能学的自己学，自己能做的自己做，培养他们合作互动的精神，从而达到互助。

3.通过对比练习来加深对正比例的意义理解

本节课设计了正方形的周长与边长和面积与边长的变化关系，让学生独立填表、观察，然后与同伴交流，通过表格、图象、表达式的比较，体会到虽然正方形的周长和面积都随边长的增加而增加，但正方形的周长与边长、面积与边长的变化规律并不相同。同时，学生将初步感知“在变化过程中，正方形的周长与边长的比值一定”，为认识正比例奠定基础。同时，借助图形直观、动态地体现了正方形的周长与边长成正比的过程，为学生后面学习正比例的图像积累活动经验。