局部对称伪黎曼流形中具有平行平均曲率向量的类空子流形

杨慧章

(红河学院 数学学院，云南 蒙自 661199)

成立．

若Mn的平均曲率H=0，则称Mn是极大的．

若2K≥1，则Mn或是全测地子流形，或第二基本形式模长平方满足

1 准备工作

文中对各类指标取值范围约定为：1≤A,B,C…≤n+p；1≤i,j,k,…≤n；n+1≤α,β,γ,…≤n+p．

(1)

其中：εi=1,εα=-1.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

则有Codazzi方程为

(11)

Ricci恒等式为

(12)

把Kαijk看作T⊥M⊗T*M⊗T*M⊗T*M的截面，定义Kαijkl为它的共变导数，则

(13)

KABCD的共变导数KABCD,E限制在Mn上，有

(14)

引理1[4]设Nn+p是n+p维黎曼流形，其截面曲率KN满足0<δ≤KN≤1，则

引理2[5]设A,B是两个n阶对角阵，若trA=trB，且AB=BA，则

2 定理的证明

由(11)式，有

(15)

由(14)式，有

(16)

由(6)式，有

(17)

由(8)式，有

(18)

将(16)～(18)式代入(15)式，有

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

等号成立当且仅当HαHβ=HβHα．

令B=Hn+p-HI，其中I是n阶单位阵，则有trB=0，BHα=HαB，且

由引理2，得

则

作正交变换，有

(25)

将(20)～(25)式代入(19)式，并由引理3，有

(26)

又

由于Mn的紧致性，对上式两边积分,得

(27)

由(26)、(27)式，易得

因此定理得证．在定理中，令δ=1,H=0，易得到推论的结果．