研讨式教学法在不定积分教学中的应用

李兰平

摘 要 不定积分是高等数学的基础内容，作者详细阐述了六阶段研讨式教学模式在不定积分教学中的应用，并结合教学实践交流了一些心得体会。

关键词 研讨式教学法 不定积分 教学模式 应用 体会

0 引言

微积分教学中，不定积分的计算是相当重要的。但是求不定积分思维方法多种多样，学生难以灵活运用，所以，在讲完不定积分计算的各种方法后，为了更注重每个学生的特点及学习情况，对学生进行个别性的指导，调动学生的学习积极性，创造一个在合作环境下进行探索，研究的机会，以小班（36人）为单位，探索了研讨式教学法在不定积分教学中的应用。

研讨式教学法坚持以学生为本，综合培养学生的核心能力，科学思维和良好素质的教学理念。[1]国内多所大学的教学中已广泛开展了研讨式教学的研究和应用，获得了积极的效果。 有些研究者分别提出了针对英语、国际贸易、卫生微生物学等课程的研讨式教学法。[2-4]

但是还未见有学者将研讨式教学法应用到微积分课程的教学。为此本文将参考郭汉民在文献[5]提出的“五步”教学法以及孟凡磊等在文献[6]中提出的“六步式”研讨教学模式，提出“六步式”微积分研讨式教学法。为阐述方便，本文将以不定积分教学为例说明新的教学法的实施过程。

1 “六步式”微积分研讨式教学法

在这一部分，我们将重点阐述“六步式”微积分研讨式教学法的具体实施过程。以不定积分教学为例，该研讨式教学法需要教师和学生依照以下六个步骤共同完成教学。具体操作方法如下：

1.1 布置题目

教师讲解完不定积分计算的方法：第一，直接积分法，被积函数经过整理、恒等变形后根据不定积分运算法则和积分公式求出原函数；第二，第一类换元积分法（凑微分法）；第三，第二类换元法（变量代换法）；第四，分部积分法；第五，有理函数积分法。但学生在学习完这部分内容后，会遇到相当棘手的问题，如何去选择一个适当的方法计算其结果。由此就不定积分计算的三类基本方法，第一类换元积分法，第二类换元法，分部积分法进行深入讨论研究，帮助学生掌握每类方法的精髓。

1.2 确定方案

为了让所有学生都能参与到讨论中，结合学生的情况，小班分成六个小组（每组6人），两组各自独立研究第一类换元积分法，两组各自独立研究第二类换元法，两组各自独立研究分部积分法。每组派一名组员介绍所研究不定积分方法的适用对象和处理方法；一名组员介绍计算时所需注意的问题；两名组员分别引入1个典型的例题；一名组员负责回答其他组员的提问；最后一名组员归纳总结。

1.3 阅读文献或观看教学视频

第三步在课后实施。引导学生观看慕课，数学考研视频，或者参阅微积分精品课程，微积分习题集，微积分考研题等等。为解决文献收集难、阅读难和研究焦点不集中的问题，为学生挑选适合阅读的文献，并在文献中标记重点阅读的部分，并提供文献答疑。5篇第一类换元积分法文献，分别为：杨恋波《对不定积分凑微分法解法的再认识》；邹小云《对不定积分换元积分法的再认识》；俞超群《不定积分中凑微分的教学探讨》；高静《第一类换元积分法（凑微分法）教学方法的初探》；张瑛，付雪豪《不定积分的凑微分法求解》。5篇第二类换元积分法文献，分别为：景慧丽《一道不定积分题的多种解法》；吴维峰《对不定积分一题多解的分析》；陆生琪《不定积分求解技巧解析》；张丽娟，何珊珊，王福昌等《不定积分计算中一类有用的变量代换》；郭鹏云，云文在，田强等《不定积分解法研究》。5篇分部积分法文献，分别为：何素艳，曹宏举，万丽英《一类不定积分的分部积分法》；陶硕，夏天《分部积分的“十字”口诀方法》；刘芳《不定积分中分部积分法的新探究》；范梅《不定积分的分部积分法探究》；上宏昌《关于不定积分的分部积分法运算技巧》。

1.4 设计实施

第四步在课外实施，每个小组建立一个QQ群或者微信群，教师参与到每个群，随时跟进了解或指导小组成员的研究情况。关注组员在文献阅读中是否有疑点；研究同一内容的两个小组是否出现了雷同的例题；例题的选取是否有典型性；难易程度是否恰当等等。

1.5 成果研讨

第五步在课上实施，由教师主持，各小组成员通过PPT等工具演示和讲解自己的成果。

1.5.1研究第一类换元积分法的小组成果研讨

第一个学生介绍：第一类换元积分法是引入中间变量，把原来对自变量的积分变为对的积分。即

。主要适用于被积函数是复合函数的不定积分，要掌握这种方法需要熟记一些函数的微分公式。

，等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。

第二个学生阐述，用凑微分求解不定积分时，首先要认真观察被积函数寻找导数项内容，同时为下一步积分作准备，当实在看不清被积函数的特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导，尝试，或许从中可以得到某种启迪。如，拿出求导，，然后就可以找到解题思路。

第五个学生回答其他组成员的提问。第六个学生总结了凑微分法的要点是：根据被积函数的特点凑出中间变量及其微分形式，从而将积分化为推广的积分表的形式即sin（（））（（）），……的形式，应用这种方法必须熟悉怎样将某些函数移进微分号内。

1.5.2研究第二类换元法小组展示研讨成果

第一个学生介紹第二类换元积分法主要是引入变量，把原来关于自变量的积分转化为关于新自变量的积分，即如果积分不易计算，可设，上式变为，。第二个学生阐述，第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式，比如以下几种无理式及对应代换方法：（1）。

第五个学生接受其他组成员的自由提问。第六个学生指出，要熟记第二类换元积分法的几种基本类型，会用第二换元积分法去求一些不定积分。如果被积函数含有根式，考虑用第二类换元积分法。

1.5.3研究分部積分法小组展示研究成果

第一个学生介绍分部积分法公式，，主要类型为，直接分部化简积分或者分部产生循环式，由此解出积分式。第二个学生阐述分部积分法适用于被积函数是两个不同类型的函数乘积的不定积分。求不定积分的关键是要确定，由计算的经验，可以得出以下顺序“反三角，对数，幂，三角，指数”型函数，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为。如，等等。第三个学生举例，

第五个学生接受其他组员的自由提问。第六个学生分部积分计算方法归纳总结，如果要多次使用分部积分法，则注意前后的所设函数类型必须一致；即第一步选用三角函数构造，则第二次使用分部积分法时，必须也用三角函数构造；不定积分一般综合使用换元法与分部积分法计算不定积分。

1.6 成绩评定

教师和每个小组长通过量化计分法评定各组在知识点的讲述，例题的选取，知识点的总结与推广，回答自由提问等各个环节的表现，并要求每个学生就某一种极限计算方法，参照文献中文章的格式，撰写一篇论文。论文的成绩，研究成果展示的成绩，作为平时成绩的一个依据。

2 小结

研讨式教学法在不定积分计算中的应用，可以实现以下目标：第一，以“学生为本”的观念，体现学生在教学活动中的主体地位；第二，每个学生参与到研讨中，有助于达到最近发展区；第三，教师可以了解到学生对每种方法理解和运用的程度；第四，有助于平时成绩的评定，成绩评定公平化；第五，学生从文献中学习，有助于拓宽知识面，加深对知识点的理解。

参考文献

[1] 田管凤.研讨式教学法的应用探索[J].大学教育，2013（1）：25-26.

[2] 王旭莲.高职院校大学英语教学中TEAM研讨式教学法的探索[J].职业技术教育，2017（8）：40-42.

[3] 韩琳琳.讨论式教学法在国际贸易课程教学中的应用[J].教育与职业，2013（35）：156-157.

[4] 封少龙，曹朝晖，胡小波，等.讨论式教学法在卫生微生物学理论教学中的运用[J].中国病原生物学杂志，2014（7）.

[5] 郭汉民.探索研讨式教学的若干思考[J].湖南师范大学社会科学学报，1999.6（2）：108-111.

[6] 孟凡磊，刘涛，崔伟成，等.理工科专业课“六步式”研讨教学模式[J].高等理科教育，2015（3）：85-89.