诊断数列问题中的七种典型错解

四川 蔡勇全 刘海军

数列是高中数学的重要内容，也是历年高考经久不衰的热点．由于本部分内容所涉及到的概念、公式、性质较多，而且极易混淆，因而在解题时容易出现“会而不对、对而不全、常做常错、一错再错”的现象．本文结合实例诊断数列问题中的七种典型错解，供大家参考．

一、因忽视an=Sn-Sn-1的适用前提而致误

【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1，求数列{an}的通项公式．

错解由题意，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5．

变式1 已知数列{an}的前n项和Sn=3n+2，求该数列的通项公式，并判断数列{an}是否为等比数列．

变式2 已知数列{an}的前n项和Sn=aqn(a≠0，q为非零常数且q≠1)，则数列{an}为

( )

A．等差数列

B．等比数列

C．既不是等差数列也不是等比数列

D．既是等差数列又是等比数列

评注上述案例可引申得到如下特殊结论:设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=An2+Bn(A，B为常数)，则数列{an}为等差数列(反之亦成立)；若Sn=An2+Bn+C(A，B，C为常数且C≠0)，则数列{an}从第二项起为等差数列；若Sn=Aqn+B(A，B为非零常数且A+B=0)，则数列{an}为等比数列；若Sn=Aqn+B(A，B为非零常数且A+B≠0)，则数列{an}从第二项起为等比数列．

二、因忽视隐含条件而致误

( )

剖析上述解法仅利用到a10>1这一条件，而忽视了关键词中“开始”所隐含的“a9≤1”这一信息，从而造成错解．

变式1 在等比数列{an}中，a6，a10是方程x2-8x+1=0的两根，则a8等于

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A．1 B．-1

C．±1 D．不能确定

评注在解答变式1时，挖掘出的隐含条件是“a8>0”，在解答变式2时，挖掘出的隐含条件是“y>0”．在数列问题中，由于众多性质、规律的存在，许多特殊的条件常常会隐含在待解的题目中，解答时，要注意根据数列的性质、规律去挖掘出这些隐含的条件．

三、因对数列中有关概念的理解不透彻而致误

变式1 若a，b，c是实数，则“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的

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A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

变式2 已知x，2x+2，3x+3成等比数列，且x+1，x+5分别是等差数列{an}的第2项，第4项，求数列{an}的通项公式．

评注解答变式1与变式2，皆需建立在对等比数列的定义“如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么该数列叫等比数列”有透彻的理解的基础上，尤其是要抓住“比值”这一关键词，否则仅靠“内项之积等于外项之积”得到的结果往往是不完全符合要求的．

四、因对等差数列前n项和公式的理解不到位而致误

剖析上述错解主要体现在忽视了对“在等差数列中，如果公差d≠0，那么前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)”这一结论的理解，而在上述解法中，当k是与n无关的常数时，Sn与Tn都是关于n的一次函数，因此得到的结论就必然是不正确的．

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A．3 B．4 C．5 D．6

五、因忽视项数n的特殊性而致误

【例5】已知{an}的前n项和Sn=2n2-18n+9，则Sn的最小值为_______．

剖析上述解答忽视了n是正整数这一特殊背景，同时，Sn在取得最小值时n的取值也一定是某一个正整数值，而上述解法根本没有考虑到这一点，因此造成错解．

正解因为当x=4.5时，y=2x2-18x+9取得最小值，而n∈N*，由抛物线的对称性可知，n=4或5时，Sn最小，最小值为S4=S5=-31．

变式2 已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，求实数λ的取值范围．

提示因为数列{an}是递增数列，所以an+1-an>0对于任意n∈N*恒成立，即(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0对于任意n∈N*恒成立，也即λ>-(2n+1)对于任意n∈N*恒成立，因为-(2n+1)的最大值为-3，所以λ>-3，故λ的取值范围是(-3，+∞)．

评注从上述案例可以看到，忽略项数n为正整数这一背景，实质就是忽略了数列的离散性，从而用连续代替离散，那么无疑会扩大相应函数的定义域，求出的函数最值或参数的取值范围就会出现偏差．

六、因未实施分类讨论而致误

【例6】已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项之和．

(Ⅰ)求证:S7，S14-S7，S21-S14成等比数列；

(Ⅱ)设k∈N*，试问:Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是否能组成等比数列？

(Ⅱ)类似(Ⅰ)题可证:Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能组成等比数列．

(Ⅱ)①当q≠-1时，对任意k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能组成等比数列；②当q=-1时，若k为正奇数，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能组成等比数列；若k为正偶数，则Sk=0，S2k-Sk=0，S3k-S2k=0，此时Sk，S2k-Sk，S3k-S2k不能组成等比数列．

变式1 对于数列{rn}，若存在常数M>0，对任意的n∈N*，恒有|rn+1-rn|+|rn-rn-1|+…+|r2-r1|0)的等比数列{an}是否为Ω数列？请说明理由．

综上所述，当01时，等比数列{an}不是Ω数列．

变式2 已知正数a，b，且a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求x1x2·…·xn的值．

评注数列问题中，当所研究的对象或结果在题目背景下存在多种可能性时，公差、公比、项数或其他参数常常需要进行分类讨论，其中，公比往往是从等于1与不等于1两个角度来讨论的，公差往往是从正、负两个角度来讨论的，项数往往是从奇、偶两个角度来讨论的．

七、因主观臆断、思维定势而致误

【例7】已知数列15，5，16，16，28，试问:该数列的通项公式存在吗？若存在，请指出；若不存在，请说明理由．

错解因为该数列没有任何规律，所以它没有通项公式．

剖析主观上，不少解题者认为，没有规律的数列是没有通项公式的，事实上，对于任意有限数列而言，它都是存在通项公式的，它的各项(共n项)可以看作一个一元n次方程的根．