二轮微专题，提升关键能力

江苏 章岐男

高三数学经过一轮的复习，二轮复习主要是以知识模块为专题，对高中数学主要章节的重点内容进行复习，进行知识综合应用，引导学生构建知识网络，提升学生解决综合问题的能力.但是在实践中也有一些困惑：①与第一轮复习的内容有重复的地方，有些知识点出现重复，例题区别不大，给学生炒冷饭的感觉，容易让学生产生“审美疲劳”；②学生在第一轮复习中的疑点和盲点并没有很好的解决，知识与方法的漏洞没有及时补上；③对于考试中出现的一些新的热点问题研究较少或者研究不深，并没有很好的帮助学生解决这一类问题，让学生感觉自己解决问题的关键能力提升太少，教学工作事倍功半，效率不高.

在二轮复习中怎样来解决这些问题让学生在二轮中提升关键能力？可以尝试在二轮复习中穿插微专题.所谓“微专题”是指立足于学情、教情、考情，选择一些切口小、角度新、针对性强的微型复习专题，力求解决复习课中的真问题、小问题和实问题.微专题有三大特点：①切入点比较小，直指一个问题或者一类小问题，不求大而广；②针对性强，主要针对学生反复出现错误的问题；③及时性，能够把最新的热点及时讲授，可提高学生的学习兴趣.在实践中，按照以下几个方面实施教学.

一、关注考试热点，提升创新能力

每年高三复习二轮阶段，各地的调研卷或多或少会有新的热点，所谓“热点”是指各地考卷经常考的知识点或者知识点以较新的面貌出现在大家面前，比较受大家关注.通过调研卷不难发现一些热点问题，作为教师，首先要研究透这些热点，思考能不能组成一个微专题和学生分享.通过微专题的形式，让学生掌握相关知识，提升创新能力.

例如函数导数类综合问题的考查力度一直很大，基本上作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常以与ex，lnx有关的函数形式出现，且伴随对参数的讨论.学生对于这类题目总是束手无策，得分很低.针对这个热点问题，笔者设计微专题《函数导数综合应用》.

【课前预习】

1.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)

【解析】∵y=f(x+1)为偶函数，

∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称，

∴y=f(x)的图象关于x=1对称，

∴f(2)=f(0)，又∵f(2)=1，

∴f(0)=1.

又∵f′(x)

∴f′(x)-f(x)<0，∴g′(x)<0，

∴g(x)单调递减，

即g(x)<1，

∴g(x)

∴x>0，故答案为(0，+∞)．

这是根据导函数的形式逆向构造函数中的一类与ex密切相关的问题，学生平时对已知函数求导问题掌握较好，但是逆向构造就有点困难，但会让学生感觉新鲜.

【解析】∵k为正数,且对任意的x1,x2∈(0,+∞),

当g′(x)>0时,x∈(0,1);

当g′(x)<0时,x∈(1,+∞),

又k>0,∴k≥1，

【引例】

已知函数F(x)=lnx-x+1．

(Ⅰ)求函数F(x)的单调区间和最值；

(Ⅱ)已知不等式3ln(x+1)<3x+m对一切x>-1恒成立，求m的取值范围．

∴F(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是 (1，+∞)，且F(x)在x=1处取得极大值也是最大值0，没有最小值．

(Ⅱ)由3ln(x+1)<3x+m，

得m>3ln(x+1)-3x对x>-1恒成立，

令g(x)=3ln(x+1)-3x，只需m>g(x)max即可．

当-10；

当x>0时，g′(x)<0．

∴g(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减．

∴g(x)max=g(0)=0,

则m>0,故m的取值范围为(0，+∞)．

实际上，由(Ⅰ)可知lnx-x+1≤0对x>0恒成立，且在x=1时取得最大值0，以x+1代入x则可得ln(x+1)-(x+1)+1≤0恒成立，故不等式3ln(x+1)<3x+m可化为 3ln(x+1)-3(x+1)-3，即m>0.如此，起到将陌生问题化为熟悉的、已解决的问题的作用.提升了学生的转化能力.

【典例剖析】

通过例1，让学生学会构造两个函数，对于这类综合题，构造函数是学生必备知识技能之一.其实由引例可知，lnx+1≤xln(x+1)-(x+1)+1≤0(由x+1代入lnx-x+1中的x可得),即证F(x+1)≤0；而即即这样只需要构造一个函数即可！

例2若b>a>e，证明ab>ba.

例3(2014·江苏卷·19)已知函数f(x)=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

(Ⅰ)证明：f(x)是R上的偶函数；

(Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；

【探究】已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R)．记函数y=f(x)图象为曲线C，设点A(x1,y1),B(x2，y2)是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．

答案：不平行.过程略.

变式1设函数f(x)=alnx-bx2，其图象在点P(2，f(2))处切线的斜率为-3．当a=2时，令g(x)=f(x)-kx，设x1，x2(x1

变式2已知函数f(x)=lnx-ax，a为常数.若函数f(x)有两个零点x1，x2，试证明x1x2>e2.

本题对学生的要求较高，主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.

本节课的例题主题明确，面对这类综合题目，先变形，然后构造函数，再转化为导数问题或者恒成立问题等来求解，让学生不再畏惧这类难题，提升学生的综合解题能力.

通过本节课的训练，学生对于这类题目有些感悟，知道如何下手做题，并提高得分率.在实际教学中，笔者还设计了其他微专题，比如《解析几何的定点定值问题》、《解析几何中变量的选择》、《新定义数列求解》等等，这些都是热点，通过这些微专题，提升学生的创新能力.

二、关注疑点难点，提升思维能力

在一轮复习中，虽然复习到各类基础知识，但是有些难点却一带而过，学生没有很好的体会，没有掌握解决方法，在实际处理问题时，显得无从下手，效果很弱.如果二轮复习时也不能很好的专题解决，问题就会累积，所以对于出现的疑点难点有必要设置微专题专门处理.数列是离散型的函数，是函数概念的拓展和延伸，因此周期性、单调性在数列问题中常作为考查的热点问题，笔者开设了《数列中的周期性、单调性问题》．

若数列{an}满足an+k=an(k为常数且k∈N*)对任意n∈N*恒成立，则数列{an}是以k为周期的数列，数列中的周期性在试题中常以填空题的形式出现，通常可采用列举、归纳猜想的方法解决，另外也可以与函数的周期性进行类比.

数列的单调性的判断方法：一是利用定义，比较an+1与an的大小，二是构造函数，利用导数解决，要注意数列的单调性与函数单调性的联系与区别．

三、关注知识纵向联系，提升合作能力

二轮复习虽然以模块为主，但是有些内容纵向联系比较多，需要及时联系各类知识，让学生融会贯通，提升各模块间的综合能力.不等式恒成立与有解问题作为考试的一个热点，联系的知识比较多，学生也容易混淆.其实这块知识，只要训练好，得分不是难题，笔者尝试了《不等式恒成立与有解问题》的微专题，把相关的各块内容联系起来，学生对这类问题不再陌生和恐惧.

在实际教学中还要挖掘更多的联系，让多个知识点汇总的题目展示在学生面前，提升能力.

四、深度挖掘教材，提升认知能力

每年的高考题，不少都是来源于课本的题目，深挖课本题目，有很强的实际意义.这类问题参考书中出现的不多，可以在各类试卷中发现联系，与课本当中的知识结合起来.比如，笔者设计了《方程、不等式中的多元问题处理》，不等式是一个难点，尤其是以填空题形式出现，学生难以上手，或者一筹莫展，通过这个微专题，从课本题目入手，由浅入深，循序渐进，把一些常见的多元问题归类，统一处理方法，让学生体会，效果很好.

这就要求教师平时既要做题，又要联系课本，然后深度挖掘，提升学生的关键能力.