启发式教学在高等数学教学中的应用

苏丽丽

【摘 要】 本文中作者结合教学实践案例展示了启发式教学在高等数学教学中的应用，并针对目前高等数学教学面临的现状给出了有效的建议。

【关键词】 高等数学；启发式教学；教学实践

【中图分类号】 G64.0 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2018）07-0-01

《高等数学》是高等院校理工科类专业学生的一门基础必修课，除了后续课程的学习奠定了一定的知识基础，更重要的是提高学员的综合能力。由于高等数学具有高度的抽象性，而学员学员正处于从中学到大学的过渡期和适应期，加之没有良好的数学素养。因此教学过程中高等数学课面临着学生学习积极性不高的现状，而后继专业课对高等数学的要求却越来越高。怎样利用较少的授课时间来获得较好的教学质量和效果，是我们广大高等数学教育工作者都应该思考的问题。

传统的教学方法主要是以传授知识目的，过多地强调概念、公式、定理、这样，学生容易在学习中感到枯燥乏味。对数学的认识也只停留在概念、定理上，而无法将这些知识转化成能力运用在工作实践中，因而产生厌学情绪。如果既想提高学生的兴趣又要凸显出高等数学的特殊教育功能，除了要充分挖掘这些知识点背后所蕴含的数学思想、数学方法外，还要改进教学方式。下面就以罗尔定理的教学为例介绍启发式教学的应用。

一、教学实践

1、引导学生从几何直观中发现规律

引导学生观察图一的特点，再结合更多的几何图形观察分析，总结出一般的几何事实：

平面内满足以下三个条件“连续的、除了端点外处处有不垂直于x轴的切线、端点的连线与x轴平行”的一条曲线段，一定具有水平的切线。

2、引导学生将几何事实转化成数学语言

在这里事实上是用到了数形结合的思想，将一条曲线所具有的性质来刻画它所对应的函數的性质，即如果一个函数满足：在闭区间上连续、在开区间内可导、区间端点的函数值相等，则该在开区间内至少存在一点，函数在该点的导数值为0。这样就得到了罗尔定理。

按上面教学过程处理罗尔定理的教学，自然使同学们看到了定理产生的背景，这对学生理解定理的内涵和外延是有很大好处的，也为学生应用罗尔定理解决其它问题奠定良好的基础。引导学生将文字语言翻译成数学语言，是我们教学的必备之功。“猜”出结论后，进一步引导学生探讨证明结论的方法。

3、引导学生探讨证明结论的方法

要给出严格的数学证明，对学生来说是一个不小的挑战。首先，一个区间上有无数个点，怎么找出一个满足条件的来，仅从函数出发无从下手，那么就借助几何图形去观察，找到某些个性。观察发现：这些点恰好位于曲线的波峰或波谷的位置，反应在函数中就是极值点。那么就会得到这样的一个结论：极值点如果可导，则导数值必为0，即费马引理。只要我们证明费马引理，结合极值点与最值点的关系，马上就可以证明罗尔定理。因此，证明罗尔定理的核心在于证明费马引理。

注意到这里的函数是抽象的，没有具体的表达式，无法将学生擅长的计算融入进来，就需要找到一个突破口。引导学生快速回顾与导数相关的知识，仅有概念和求导公式，由于求导公式是针对具体的函数而言的，在这里来说没有意义，因此我们最终只能借助定义。在这里也要提醒学生积累经验：当我们对一个数学量的计算无从下手时，考虑借助概念解决。

4、引导学生理解定理的内涵和外延

（1）从简单的实例出发，强调定理的条件缺一不可。

（2） 定理条件是充分非必要条件。

（3） 引导学生结合几何图形积极思考：如果取消定理中的第三个条件会有什么结果。

二、启示

现阶段的高等数学教学普遍面临着学生学习积极性不高的现状，一方面是由于高等数学是大学第1学期的课程，这一阶段的学生必然有一个从中学到大学过渡期和适应期。中学数学是“常量数学”，研究的是静态的，有限的，具体的数学问题；而大学数学研究的是动态的，无限的，抽象的数学问题.两者之间有着本质的差别，无论是思维方式，还是处理问题的方法手段都是完全不相同的。这本身就造成了学生在理解、认知及思维方法上的困难。另一方面是由于课堂的教学方式，传统的教学方式中，教师的主要角色是传授知识，而这一角色主要是通过讲授课程来实现。再加上大学数学的课程设置、课程安排、讲授方法的选择大部分都是从教师的角度出发，很少根据学生的需要来确定。大部分教师经过几年的教学之后，倾向于重复过去就成为传统教学的最大特点。这样一来，程序化、标准化的教学成为这种教学模式的真实写照，且课程讲授方法单一、刻板。这样的课程严重脱离学生的实际，学生便丧失了学习兴趣。

启发式教学方式也可以运用到教学的每一节课中，概括来说，即不要直接给出概念的定义，而是要展示概念的实际背景和其形成过程，揭示其中所隐含的数学思想和方法；对公式、定理不要过早地给出数学结论，而要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导证明过程，从中领悟思维过程中的数学思想方法；求解数学问题时，不要过早地给出答案，而是要引导学生积极思考、讨论，寻求解题的方法、规律，提高学生解决数学问题的能力。以数学知识为载体，传授数学思想与方法，培养数学思维，提高数学素养才是高等数学教育的真正目的。作为高等数学教育者而言，紧跟时代发展步伐，不断更新教学理念，不断探索新的教学方法，引导学生从思想上改变认识改是解决高等数学教育现阶段所面临的困境的有力途径。

三、结语

在教学过程中加强学生思维能力的培养和创新思维的训练绝不是纸上谈兵，教师要主动变“传统”为“探究”的教学方式，充分地体现了知识的形成过程，促使学生以探索者的身份去发现问题、解决问题。教学中，应当引导学员多方位观察，多角度思考，广泛联想，培养学员广泛的观察力和活跃的灵感，提高他们的综合能力。

参考文献：

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[2]房少梅，金玲玉.谈谈如何在数学教学中运用启发式教学法[J].科技教育创新，2010.

[3]唐健雄，曾小玲.“启发式教学法”考析[J].湖南第一师范学院学报，2013，8.