巧选参考系在相对运动中的应用

湖北

蔡华生

在追及相遇问题、滑块—木板模型以及传送带问题中，经常是两个物体之间发生相对运动，这时如果分别研究两个物体的运动过程会很繁琐，即分别求出两个物体的对地位移，再求相对位移,费时费力，且由于解题步骤较多、运算量较大而容易出错。如果改变参考系，从相对运动角度来解，能省去很多中间量的求解过程，使运算量大为减少，是解决这类问题的一条捷径。下面通过三道例题进行探讨。

【例1】甲、乙两物体相距100 m，沿同一直线向同一方向运动，乙在前、甲在后，以下情况中，甲可以追上乙的是 ( )

A．甲的初速度为20 m/s，加速度为1 m/s2；乙的初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2

B．甲的初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2；乙的初速度为30 m/s，加速度为1 m/s2

C．甲的初速度为30 m/s，加速度为1 m/s2；乙的初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2

D．甲的初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2；乙的初速度为20 m/s，加速度为1 m/s2

下面的例2是2015年全国卷Ⅰ第25题，在求第二问木板的最小长度时用这种方法来做比普通方法简洁很多。

【例2】一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块，在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为 4.5 m，如图1中甲所示。t=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1 s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s时间内小物块的图线如图1中乙所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求：

(1)木板与地面间的动摩擦因数及小物块与木板间的动摩擦因数 ；

(2)木板的最小长度；

(3)木板右端离墙壁的最终距离。

【解析】对第二问，先求出碰撞后两物体加速度的大小

a2=4 m/s2

小物块恰好能运动到木板的右端，达到共同速度时小物块与木板的相对位移等于木板的长度，则木板的最小长度

【例3】如图2所示，质量M=4.0 kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量m=1.0 kg的小滑块A(可视为质点)。初始时刻，A、B分别以v0=2.0 m/s向左、向右运动，最后A恰好没有滑离B板。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.40，取g=10 m/s2。求木板B的长度l。

【解析】首先容易求出：aA=4 m/s2，aB=1 m/s2。

【方法一】分两个阶段分别求相对位移，然后相加。

第一个阶段A向左减速到速度为0，B向右减速运动，则有

Δx1=xA+xB=1.375 m

第二个阶段A向右加速，B继续向右减速运动直到两者达到共同速度v共，则v共=aAt2=v0-aB(t1+t2)

t2=0.3 s

木板B的长度l=Δx1+Δx2=1.6 m。

【方法二】不分阶段，直接求A、B全程位移。

取水平向右为正方向，经时间t，A、B达到共同速度v共，有v共=v0-aBt=-v0+aAt

l=xB-xA=1.6 m。

【方法三】利用动量与能量求解。

由动量守恒有Mv0-mv0=(M+m)v共

联立解得l=1.6 m。

【方法四】用相对运动(以长木板为参考系)法。

比较发现，四种解法繁简程度天壤之别，巧选参考系在这类问题中的优势明显。只要两个物体在运动过程中的加速度不变，考虑两个物体之间的相对位移时，这种做法都比较简单，尤其是两物体最终达到共同速度，即相对末速度为0的情况，这种做法尤其显得简洁。