高等数学中分部积分在分析力学中的应用

丁金凤

摘要：高等数学作为一门基础学科，具有高度的抽象性和严谨性，并具有极其广泛的应用，本文结合笔者的研究方向，探讨了高等数学在分析力学中的作用，通过三个力学模型说明高等数学中分部积分在分析力学中的具体应用。

关键词：高等数学；分析力学；应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）18-0226-02

一、高等数学的重要性

数学一词在西方源于古希腊语，意思是通过学习获得的知识。从字面意思来看，早期的数学更接近人类的生活。数学与其他事物一样，经过不断的演化，将生活中具体的事物、规律不断的抽象化，变成如今我们所数学的数字、公式和定理。今天，除了中小学阶段学习的初等数学在实际生活中会偶有应用，大家对大学时学习的高等数学的应用性产生了怀疑，疑问为什么要学习高等数学？这些抽象的数字、符号、公式、定理等跟他们的生活有什么联系呢？高等数学作为一门必修课，学了有何作用呢？事实上，高等数学的用途远远超乎人们的想象，尤其在信息化的当下，几乎无处不在。我们几乎每天都会接触到的手机、电脑，经常要用到搜索功能、语音识别、词典翻译等，这些功能的实现离不开高等数学的参与。举个例子，学生们在学习线性代数时会觉得除了能解线性方程外，看不出线性代数还能做什么，搜索引擎中要对成百上千篇文章，数以百万计的关键词做分类，这时候就要用到线性代数中的奇异值分解，通过计算机进行奇异值分解就能完成近义词分类，将文章进行分类，还可以得到每个主题、每个词语之间的关联性，也就是我们在百度一个问题时想要的结果和相关联的结果都会出现。由此可见，高等数学与我们实际生活息息相关，大到航天、能源等方面，都需要用到高等数学的知识，同时高等数学在其他学科的发展中也起着基石的作用。坐在课堂上学习高等数学，学生们会觉得高等数学是一门高深难懂的课程，但是数学的本质却是直接而简单的，当人们运用数学这个工具解决了一个又一个实际问题中的难题时，总不禁感叹高等数学的无穷魅力。

二、高等数学中微积分的起源

微积分的创立首先是为了解决17世纪主要的科学问题，有四种主要类型的问题：（1）已知位移可表述为时间的函数，求任意时刻的速度和加速度；（2）任意曲线的切线问题；（3）求函数的最大、最小值问题；（4）求曲线弧长，曲线所围的面积，曲面所围的体积，物体的重心问题。微积分问题至少被17世纪十几个大数学家探索过，如罗贝瓦尔、费马、巴罗等都探讨了如何求切线的问题。17世纪，求曲线弧长、面积、体积、重心的工作始于开普勒，后来沃利斯、尼尔、费马等也得出了重要结论。实际上在牛顿和莱布尼茨做出他们的冲刺之前，微积分大量的工作已经累计起来了。在数学和科学的发展中，普遍的工作淹没在细节里，需要有足够的想象力和魄力将这些碎片组织起来，在微积分中这两位伟人便是牛顿和莱布尼茨。

三、分析力学介绍

18世纪以来，由于机械工业的大发展，提出了大量新的力学问题，这些问题中需要处理互相约束的物体组成的系统，分析力学就是在解决这些问题的过程中发展起来的，理论力学以牛顿定律为基础，主要采用数学中的几何方法研究力学系统，与理论力学不同，分析力学是数学中的分析法，更侧重于能量。分析力学是运用纯粹数学分析的方法研究质点系的机械运动，它开辟了解决受约束的物理及更复杂的物体系的运动和平衡的新途径。分析力学的基本内容是阐述力学的基本原理，通过力学变分基本原理导出物体的运动微分方程，在此基础上进一步研究方程特点以及积分方法等。力学变分原理具有高度的统一性与普遍性，更适用于受约束的复杂质点系。分析力学广泛应用于工程技术领域，如自动控制、宇宙力学、一般链式理论等。下面将通过不同的力学模型，阐述在分析力学的研究中通过力学变分原理求解系统的运动微分方程时，高等数学中分部积分的应用。

四、几类分析力学模型举例

（一）一般完整系统的Lagrange动力学方程

我们所研究的力学系统大都是含有约束的系统，所以研究非保守力学系统更具有实际意义。

完整非保守Hamilton原理可写成：（δT+Qδq）dt=0，下面通过分部积分计算导出Lagrange方程：

δq+δ？摇+Qδqdt=0

其中δ=δq，利用分部积分可得：

-+Qδqdt+δq=0

利用边界条件，得到完整非保守系统的Lagrange方程：-=Q

（二）基于El-Nabulsi动力学模型的Birkhoff力学系统的动力学方程

2005年El-Nabulsi提出了类分数阶模型，这一类模型中利用广义分数阶外力来体现实际中所受到的广义外力，但在计算中不出现分数阶计算，同时又解决了非保守系统的建模问题。

求积分泛函在给定边界条件下的极值问题，根据变分原理，泛函取极值的必要条件是δS=0，即：

δS=δ（R-B）（t-τ）dτ=（δR+Rδ-δB）（t-τ）dτ=0

上述计算中需要用到高等数学中的分部积分，即

Rδ（t-τ）dτ=R（t-τ）δa？摇-δa（t-τ）-R（α-1）（t-τ）dτ=-（t-τ）+R（1-α）（t-τ）δadτ

代入，求得该模型下系统的运动微分方程：

---=R（μ=1，…，2n）

（三）含时滞的非保守系统的运动微分方程

时滞动力系统普遍存在于自然和工程实际中，它是对力学系统更本质、更真实的描述。

完整非保守系统的Hamilton原理为（δL+

Qs″δq）dt=0，满足边界条件，将各项代入，得到：

（t）+（t+τ）+Qs″（t）δq+

（t）+（t+τ）？摇δdt

下一步计算中使用分部积分，并利用边界条件得到含时滞的非保守力学系统的运动微分方程，可称为含时滞的非保守力学系统的Lagrange方程：（t）+（t+τ）-（t）-（t+τ）=Qs″（t），（t1≤t≤t2-τ）

（t）-（t）=Qs″（t），（t-τ

五、结语

通过上述列举的三类模型：完整非保守系统、基于El-Nabulsi动力学模型的Birkhoff力学系统、含时滞的非保守Hamilton系统，通过变分原理，利用分部积分得到相应的系统的动力学方程，进而通过动力学方程研究该系统的动力学行为。高等数学在分析力学中的应用可见一斑，分析力学的发展研究离不开高等数学这一有力基石，诸如机械设计与制造专业、土木工程专业、工程力学专业等，这一类工科专业需要用到的高等数学知识较多，如果高等数学的基础较差，会造成后续的专业课学习比较费力，这类专业在大一时期学习高等数学时教师可以将高等数学在相关专业的应用举例讲给学生听，避免学生觉得高等数学学习枯燥无用。通过了解高等数学的实际应用提高学生學习高等数学的积极性，并与后续的专业学习相结合，为专业学习打基础的同时提高学习高等数学的内驱力。

参考文献：

[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].上海科学技术出版社，1981.

[2]吴军.数学之美[M].北京：人民邮电出版社，2014.

[3]梅凤祥，刘桂林.分析力学基础[M].西安交通大学出版社，1987.