浅谈数学概念的教学

摘 要：数学概念在数学内容中占有重要地位，数学概念的教学有着自身的特点，在教学中应该根据这些特点开展教学。本文分析了数学概念的定义，数学概念的获得以及数学概念的教学这三方面的特点，其中，介绍了定义的五种方法，概念获得的两种方式，概念教学的注意事项等。

关键词：数学概念；概念获得；概念形成；概念同化

中学数学基础知识包括概念，命题及命题的证明等，其中数学概念是数学家智慧的结晶。数学是用概念思维的，在概念学习的过程中培养出来的方法迁移能力及思维方式最强悍。数学概念教学的意义，一方面让学生掌握书本知识，另一方面使学生学会用概念思维，以此提高数学素养。教师们应该重视概念教学，特别是核心概念的教学。

一、 数学概念的定义

概念反映了客观事物的本质属性，数学概念则反映了客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。掌握一个概念，将是要掌握这个概念的定义，定义是揭示概念内涵的逻辑方法。

有如下几种定义方法：1. 内涵式定义，即属概念加种差定义。例如，在定义“有一组对边相等的平行四边形叫菱形”中，“平行四边形”是临近的属，“有一组对边相等”是种差。

2. 发生定义。以被定义概念所反映的对象产生或形成的情况作为种差作出的定义，称为发生定义。例如“一条射线绕着它的端点旋转而成的图形叫做角”，就是一个发生性定义。

3. 关系定义。以被定义概念所反映的对象与其他对象之间的关系作为种差而作出的定义叫作关系定义。例如“如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面垂直”。

4. 外延定义，某些概念内涵不易描述，但外延明确，可通过表示外延的方法来作定义，例如，“有理数和无理数统称为实数”。

5. 词语定义，例如“形如y=kx+b（k≠0）的函数称为一次函数”。

说到概念，不能不提原始概念。在概念的序列中有一些概念是用来定义其他概念的，但又不能用别的概念给它下定义，这些概念称为原始概念或不加定义的概念。例如，数、点、直线、平面等都是原始概念。原始概念一般用描述的方法来揭示它们的本质属性。

二、 数学概念的获得

一般地，人们通过概念形成与概念同化两种方式获得概念。概念形成是指人们从大量例子出发，抽象概括出一类事物的本质属性。教学操作如下：（1）教师拿出一组例子，与同学们一起分析它们的共同属性。（2）通过已有认知结构，概括抽象出对象共同的本质属性。（3）给出概念的定义。（4）通过正例和反例进行强化训练。

概念同化是学习者利用已有概念去理解新概念。教学操作如下：（1）辨认阶段，回顾已有知识，比较分析新旧知识。（2）同化阶段，把新概念纳入已有概念体系中，同化新概念，形成一个整体。（3）强化阶段，通过正，反例，加深加强学生对新概念的理解。

概念的同化有下面三种基本模式：

1. 下位学习。下位学习是由大到小，由一般到特殊，通过学习将新概念纳入旧概念之下，或者说新概念是旧概念的子集。例如，已有函数的概念，納入正比例函数，反比例函数；已有平行四边形，纳入矩形，菱形。

虽然人们对客观事物的认识是从特殊到一般的，但目前的数学教材编排是采用下位学习方式，如先学习函数概念，再学习一次函数，二次函数。下位学习是一种演绎学习的过程。

2. 上位学习。上位学习是指新概念包含了原有认知结构中的概念。例如，已经学习了椭圆，抛物线，双曲线，再学习圆锥曲线。上位学习是一种归纳学习的过程。

3. 组合学习，也叫并列学习。组合学习是指新概念与原有概念在内涵和外延上是并列的，既无上位关系，也无下位关系，例如，三角形的三线，高，角平分线，中线，它们是并列关系。

概念同化是依靠新旧概念之间的相互作用来理解新概念，需要学生依托原有认知结构，是一种主动的，有意义的学习，更利于成绩好的学生学习。

概念形成与概念同化两者不是孤立的，概念形成包含了同化的因素，需要用具体的材料去同化新概念。概念形成的教学形式比较费时，但有利于培养学生的观察能力。概念同化也包含有概念形成的因素，因为同化不能脱离分析，抽象和概括。概念同化的教学形式省略了概念产生过程中的观察，分析共性，抽象概括，节约了教学时间，但有利于培养学生的逻辑思维能力。在概念教学中，经常要结合两种方式，根据不同的教学内容选用不同的教学形式，以培养学生综合素质。

三、 概念教学

教师要把基本概念放在中心地位，使其成为相关知识的纽带，要把基本概念的教学作为重点，狠下功夫，训练学生能对一类具体例子的属性进行分析，综合，比较而抽象出本质属性，把新概念纳入概念系统中去，这是概括的高级阶段。同时要注意培养学生的数学语言表达能力，这是学生的弱项，也是长期被数学老师所忽视的。语言表达是概念教学的难点，经常性的，老师和学生都知难而退。学生能用自己的语言叙述概念，这说明学生能够深刻正确地理解概念。数学语言是符号语言，是世界通用语言，因此，学生掌握数学语言具有重要意义。

“人教A版”的主编寄语中说：数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。

概念教学应该自然，水到渠成。这包括知识逻辑顺序的自然和学生心理逻辑，主要是思维过程的自然。概念教学中，一方面要突出由实际背景抽象出数学概念的过程，让学生通过数学抽象的过程，学会用数学思考问题；另一方面，要突出建模方法的使用，让学生认识到数学反映客观事物的方法是通过数学模型实现的，从而学会用数学解决问题。

作者简介：

王卫华，湖北省武汉市，湖北大学数学与统计学院；应用数学湖北省重点实验室。