教材理解的几个视角——从黄金分割的教材调整谈开去

章　飞

(江苏第二师范学院 210013)

细心的读者会发现，北师大版初中数学教材(2012版)中，黄金分割的位置发生了变化[1][2]．作为善于研究的老师，不禁要追问：为什么要调整该内容在章节中的位置？调整后教材处理发生了哪些变化？对教学设计提出了什么要求？本文以该课时为例，谈谈理解教材、研究教材的几个视角，与同行交流.

1　探析教材变化的道理，保证教学定位的精准性

随着教材建设经验的丰富和教学实施的探索，教材的修改完善是教材建设的常态．但即便是教材设计很小的调整，都是设计者多方权衡的结果．因此，作为一线教师，要具有敏锐的眼光，善于发现这些变化，挖掘这些变化的背景及其内蕴的道理，从而更好地理解教材内容，设计更为合理的教学.

对于黄金分割，多数教科书中，都是将黄金比作为一个特定的线段比放到线段比这个位置介绍的．2012年前出版的北师大版初中数学教材也是这样设计的．可是，新版本为什么要进行修改呢？为此，我们需要思考，原有设计的不足之处.

实际上，在相似及其性质之前学习黄金比，无法让学生感受黄金比的来源(关于黄金比的历史，可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，该学派的徽标就是一个正五角星，该学派在研究正五角星、正五边形和正十边形的作图过程中，发现了这个特殊的比值；而发现这个特定比值，需要构建关于这个比值的等式，这就需要用到不同图形的相似关系了，具体参见下面的教材设计)，当然， 也就无从感悟其内蕴的美了(黄金分割的美内蕴于其发现的背景图形，同时外化为具有类似数学结构的生物空间)．在学生无法感受其来源的情况下，学生难免发出这样的感慨，“较长与较短的比等于整个与较长的比，又有何奇特，干嘛这么大惊小怪的，还称之为黄金比”“黄金比，是很特殊，但美在何处？”此外，黄金比仅仅是线段比的一个特例，并非后续学习相似的前知识，在相似学习中根本用不上黄金比，只是特定图形的相似中产生的相似比可能是黄金比，因此，将黄金比插在线段的比和相似之间学习，师生难免会诧异于教材的飞来之笔，有一种不自然、不流畅的感觉．这正说明，黄金分割在原来教科书中的位置不恰当．为此，需要挖掘黄金比的起源，让学生了解黄金分割的来龙去脉，感悟黄金分割内蕴的美．这就不难理解北师大版初中数学教材2012版的设计了．北师大版初中数学教材2012版中[2]，以美丽的五角星为背景，在感受了五角星对称美之后，引导学生思考其中相等的线段、相等的角、全等的三角形、相似的三角形，进而发现：整个图形中总共四种不同长度的线段，依次之间的比相等；同一条线段上每个点分得的两条线段的比例都是相同的．这样的情境活动，既充分调用了学生先前的知识(相似三角形的判别与性质)，又自然地揭示了黄金分割的来源，顺利引出下面黄金分割的概念.

这个案例关注了同一个教材前后纵向的变化，实际上，还可以观察不同版本教材横向的差异，基于对这些差异的思考更好地理解教材、研究教材．例如，北师大版和苏科版初中数学教材是先学习勾股定理再学习实数，其他多数版本是先学习实数再学习勾股定理，再如，一些教材是先学习平方根再学习算术平方根，另一些则反过来．作为一线教师，应开展比较研究，探讨各个版本设计的出发点、意图与侧重点，分析各种做法的优势和不足．当然，比较研究的目的，并非给出孰优孰劣的评判，而是客观分析各自的优缺点，在教学实施中，适当兼容并包，力图彰显优势，弥补不足.

2　发掘教材内隐的活动，恢复活动设计的立体性

教材设计，一定程度上也是教学设计．但又不同于教学设计．具体表现在下面几个方面：一是、教材是纸质的、静态的，而教学是动态的、生成的，因此，教材只能呈现某个固化的过程．教材如果像教学设计那样“枝繁叶茂”，将所有过程都展现出来，可能看似连贯流畅，但由于难能准确贴合具体班级的学生实际，教师用起来反而不趁手，甚至容易干扰教师教学、捆住教师的手脚．二是、由于版面容量的限制，教科书难能展开教学设计的完整过程，只能削枝强干，突出主干内容．例如，具体教学中，为了达到较好的效果，多采用边学习边巩固的策略，如，在明晰了概念的定义后，一般可设计概念的词语解析、实例的辨析、反例的枚举、原型的寻找等，以加深概念理解，在明确了定理、公式后，一般会探讨定理、公式的特征和适用范围，并布置一些简单的应用性练习．但教材篇幅有限，难能将所有的教学过程都展现出来，即使设计了部分巩固性练习，也未必亦步亦趋地放置在相应概念、定理之后，可能将本课时的一些巩固性练习集中起来，以“随堂练习”“巩固练习”等为栏目名，放到教材中一个特定的位置．三是、即使已经削枝强干后的一些主干性内容，教学过程也是动态生成的，具有丰富的展开过程，而教材可能也难能完整地展开这样的过程．总之，教科书只是一个压缩版的教学设计.

回到黄金分割这一课时，观察情景图[2]，细心的老师会发现，教材一开始呈现的五角星中间多了一条线．正五角星是那么地对称，那么美观，现在多了一条线，美被破坏了．这说明，教科书可能删减了一些过程，教学中需要恢复这些火热的思考过程.

图1

一个五角星如图1所示.

(1)从图中找出相等的角、相等的线段.

(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.

一般而言，既然这一课时希望从五角星中发现黄金分割，同时感受黄金分割的美，自然还是从美丽的五角星开始了．因此，首先应该呈现的应是五角星(图2)，借助对称性可以发现其中很多相等的量(不仅仅是轴对称，学生直觉可以感受到旋转对称，每个角应该是一样的)．但仅仅是五角星中原有的线段和图形，只能发现其中的全等关系，没有相似，难以产生比．但我们也不难从图形中发现从外到内大大小小的五个顶点，相似、位似的关系是显然的，因此，增补一些线段(这里就是内部五边形的对角线)创生相似图形十分自然．当然，教学过程中，本应该是对称地连接五条对角线，产生图3，再感觉图3复杂，删繁就简，仅仅选取其中一个代表性的线段，得到图4.也就是说，教材设计中应该经历一个从图2到图3再到图4的过程．但由于篇幅原因，只能忍痛割爱，直接呈现图4了.

图2　　　　　图3　　　　　　 图4

当然，老师们会困惑，何不完整地呈现图2-图4的全过程，以更好地凸显思维过程呢？实际上，除了篇幅的限制外，有时也难能完整地呈现真正的思维过程．例如，本希望在前一个环节中给学生较大的空间，在下面的环节再展现上一环节思考的结果并进一步深入研究，但教材中两个环节内容靠在一起，学生不经意就发现了下一环节的结果，使得上一教学环节中的思维空间形同虚设，教材设计者常常开玩笑说，“将思维过程与结果分别放置在两个页面上，而且还要在一张纸的正反两面”，但教材排版怎么可能这么巧呢？正是这多方面的原因，使得教材的过程有所约简了．教材中这样的例子比比皆是.

总之，教材设计中无奈地选择了“压缩”版的主干内容，因此，需要教师将其原有的过程恢复完整．华罗庚先生在介绍数学学习方法时，告诫年轻人先要“将书读厚”．对教师的备课而言，又何尝不是如此呢．

3　分析教材与学情的落差，落实教学实施的针对性

图5

静态的教材，其主体内容是针对假想的中等水平学生设计的，适当通过一些问题拓展和选择性资源兼顾不同学力水平的学生，但真正的使用者(学生)个体差异很大，无法保证教材设计完全贴合各个班级的学情．既然如此，教师就需要在教材理解的基础上，根据自己班级的学情进行创新设计了．为此，需要审视教材中例习题的难度水平、审视教材中素材与学生认知实际和生活实际的贴合度，进而作出适当的调整．如果题目的要求高于学生的学力水平，可以提供一些台阶；如果题目的要求低于学生的学力水平，则可以在原有基础上适当拓展提升或者更换更有挑战性的问题；如果素材不符合学生的生活实际，完全可以结合学生的生活实际重新寻找素材．例如，为了抽象概念，教材呈现了很多生活实例，但这些实例难能保证适用于所有学生，这就需要教师认清这个素材设计的目的在于抽取出研究对象，进而概括出概念，既然如此，就需要结合自己班级学生的认知实际和生活实际寻找素材，大胆地进行调换，甚至还可以引导学生自己寻找这样的素材，形成一定的素材库，为后续教与学的活动提供资源支持.

还以黄金分割这一课时中黄金分割点的作图为例加以说明．为了巩固学生对于黄金分割的认识，教科书在随堂练习中介绍了黄金分割点的作法，引导学生思考作法的道理[2]．黄金分割点的作法，对于多数学生而言，是有困难的，课程标准对此也没有作出具体要求，因此，教材定位于介绍作法并理解道理，是恰当的．但如果班级学生的学力水平整体较高，也可以引领学生经历作法的探究过程.

讲述这些，我们只是希望一线教师能意识到，由于教材的静态性，教材编写存在很多无奈之处，因此，从不同视角去研读教材、理解教材，进而创新教学，成为教学的常态．当然，仅有研究视角未必就能准确理解教材，还需要一些同行交流以及外在的资源的帮助．实际上，教材、教师用书、教材培训文本是教材理解最好的参考文本．北师大版初中数学教材组在编制教师用书时，对编写团队提出了这样一个要求，要求设计者对每个环节的教学活动给出三个方面的意见：一是设计的意图，即为什么要设计这个活动，这个活动和相邻活动之间的联系是什么；二是活动结果，给出该活动的

参考性结论；三是活动的教学建议，即这个活动可以如何开展，可能有哪些预设和生成等．当然，这只是一个理想化的要求，未必每个环节都做到了这三点，但至少说明，教师用书是理解教材的合适文本．此外可以查阅培训文本，可以加强与教材设计团队、服务团队以及同行的交流.

总之，在理解教材基础上创新使用教材是教师教学的常态．作为教材编写者，我们期待老师们能更好地理解教材，创新使用教材．这是教师成长的必由之路，也是教材发展的源泉.