小学数学教学中的“数形结合”思想运用

张 敏

(上海市徐汇区逸夫小学，上海 200237)

数学的学科特点是高度抽象与概括。数形结合思想可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。根据中低年级儿童的年龄和心理特点，儿童的认识都是要经历一个直观到抽象的过程。因此，教师在教学中要注意“数形结合”，从直观到抽象，帮助学生更好地理解算理，辨析概念，发展空间思想，分析应用题的数量关系以及提高解题能力。

一、“数形结合”思想的内涵及理论基础

1.“数形结合”思想的内涵

数形结合思想，其实质是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行考虑的一种思想。[1]它既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，并充分利用这种结合，寻找解题思路。数形结合思想方法包含两个方面：一是同数及形，即“数”上构“形”，对于表面上属于代数类的问题，充分利用“形”，把其中的数量关系的几何特征形象地表示出来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用；二是同形及数，即“形”中觅“数”，根据图形结构关系特征，寻找恰当表达问题的数量关系式，将几何问题代数化，利用代数的算法优势，以“数”助“形”，使问题获得解决。[2]

2.“数形结合”思想的理论基础

(1)表征理论

本文主要研究数学的外部表征，即“数”与“形”的表征。不同表征传递的信息不同，“数”表征比“形”表征抽象，传递更为严谨的数学信息；“形”表征比较具体和直观，因为图形更贴近客观世界，所以传递的信息更易被学生认知。基于此，在解决数学问题时，学生将“数”与“形”表征相结合整体运用，所获得的有效信息和线索更多。而当题目中的表征不适合问题解决时，学生会通过表征转化获得更适合的新表征，以便更快速有效地解决问题。

因此，在数学教学中，教师要给学生提供练习的机会，让学生深入了解什么是“数”表征，什么是“形”表征。在练习过程中，学生会自主发现两者之间的规律和内在联系，形成有效的数学学习。

(2)认知建构主义理论

数学学习是指在教师的指导下，学生根据已有知识和经验，主动建构学习的活动。学生对于数学知识的掌握不是被动的接受和模仿，而是运用自己已有的知识和经验对新知识进行理解和解释，以达到建构新认知结构的目的。学生需要在教师的指导下，经过亲身实践和体验主动建构关于“数”与“形”的概念，加强自身对于“数”与“形”的体验和理解，深度挖掘知识背后的联系。这能够促进学生对数形结合的实质意义的理解，促进学生构建多元的数学思维模式。

二、“数形结合”思想在小学数学教学中的表现

基于“数形结合”的理论基础，本文通过具体案例让学生深入了解什么是“数”表征，什么是“形”表征，并能够运用自己已有的知识和经验对新知识进行理解和解释，以达到建构新认知结构的目的。

1.计算教学中的“数形结合”

当今社会，家长为了孩子不输在起跑线上，早就开始抢跑。在读小学之前，幼儿已经学会了很多的计算，有的甚至会多位数加减法。然而这些学生只是机械地“依样画葫芦”，对于为什么这样算根本就不清楚。学前抢跑反而阻碍了孩子数学思维能力的发展，因此教师要重视算理的教学指导，让学生深入了解什么是“数”表征。

例如，一年级第一学期的“20以内的进位加法”的教学中，教师从生活情景中引出算式“5+9=”该如何算呢？学生纷纷开动脑筋，有的画一画数一数，有的用小圆片摆一摆，有的用数射线算一算等，呈现了各种方法。当交流比较哪种算法更好时，学生纷纷表示数的方法太麻烦。而小圆片和数射线的方法中，第一步也是最重要的一种方法就是“凑十法”，同时学生感受到先凑到10计算比较简便。于是便出现了两种方法，如图1所示。

图1 进位加法教学中的数形结合图

教师引导学生说说摆的方法时， 可以问：(1)为什么要在9个小圆片的基础上再增加一片？ (2)哪来的“1”，谁给的“1”？给完还剩几？(3)算式怎么表示？在这样的图文结合中，引导学生根据算理列出算式，先算什么，再算什么，同时引导学生结合小圆片图用数学语言完整地表述整个计算过程。

这两种方法都是通过动手摆小圆片的过程，在直观实物中建立表象。小圆片与算式匹配起来，真正做到“数形结合”，使学生对于进位加法的算理理解更加深刻，如此才能从真正意义上理解算理，掌握计算方法。在计算教学中，数形结合的教学方法能使学生更好地理解算理，更快地掌握计算方法，起到了事半功倍的效果。

2.概念教学中的“数形结合”

由于概念本身的高度概括和抽象难懂等特点，概念教学一直是教学中的难点，给教师带来了一定的挑战。有的教师让学生把概念中的定义、公式一遍一遍地读，学生还是一知半解。因此为更好地理解概念，教师应该从“数形结合”的教学思想出发，让学生深入了解什么是“形”表征。同时也让学生亲自实践，进行建构。

如在“有余数除法”的教学中，要让学生首先感知“余数”的概念，余数是怎样产生的？“余数一定要比除数小”这个结论又是怎样得到的？这些概念对于学生来说都是非常抽象的。于是教师设计了如下活动：

(1)13颗糖，平均分给4个小朋友，每人得到几颗？

(2)汇报交流，感受“分到不能分”。

回答1：13颗糖，平均分给4个小朋友，每人得到3颗，还剩余1颗。

回答2：13颗糖，平均分给4个小朋友，每人得到2颗，还剩余5颗。

这时候学生马上举手说糖还没有分完，还可以每人再分一次，从直观操作中感知：要分到不能分为止。

(3)数形结合中引出算式表示方法，认识算式各部分的名称。

谁能把分的过程用算式表示出来？

引导学生思考：如果12颗糖平均分给4个人，每人分到3颗，算式我们会写。但现在剩余1颗该如何表示呢？

由此引出算式：13÷4=3(颗)……1(颗)

请学生根据分糖的过程或者图片，说说算式中每个数表示什么意思？

(4)分14、15、16颗糖，并把结果用算式记录，观察发现余数特点。

13÷4=3(颗)……1(颗)

14÷4=3(颗)……2(颗)

15÷4=3(颗)……3(颗)

16÷4=4(颗)

引导学生观察，余数有什么特点？余数有1、2、3，会不会有4？为什么？结合分糖再次验证“一定要分到不能分为止”，所以余数一定要比除数小。

由此可见，在“有余数的除法”教学中，让学生通过“分一分”的实践活动，用算式记录分的过程实质就是“数形结合”的过程。通过这样的教学方法，学生对于余数的产生、余数的含义以及余数和除数间的关系有了深刻的认识。

概念教学中教师切不可进行简单教学，因为死记硬背是没用的，一定要结合生活实际，通过“数形结合”教学，让学生真正把握理解概念、建立数学模型，这样的教学引导是至关重要的。

3.应用教学中的“数形结合”

应用教学是小学数学教学的重点，又是难点，需要学生用综合能力来解决问题，因此如何将抽象的数学问题转化为生活实例，把问题直观简单化至关重要。了解数与形的关系，获得更多有效信息和线索，学生通过表征转化，能够获得更适合的新表征，有效地解决问题。

比如三年级第二学期“怎样围面积最大”一节课，教师提供相同数量的火柴，要求学生围一个面积最大的图形，通过动手操作，观察比较，发现要想围出面积最大的图形，必须是越接近于正方形面积越大。利用这个知识，再去学习“复习与提高”板块——组两位数使乘积最大，联系起来学习就相当简单了。比如8、4、6、2，任选两个数组成两位数，使乘积最大。学生知道第一步把最大的8、6两个数分别放在这两个数的最高位，“8□×6□”，后面该如何选择，到底是“82×64”还是“84×62”，有的学生通过计算找到了乘积最大的，而有的学生根据周长一定围出面积最大的知识得出：只要两个数的差越小，乘积就越大，可以把两数想象成长方形的两条相邻的边，乘积就是其面积，因此可以通过建立新旧知识之间的联系找到解题的关键。从“组乘积最大的两位数”联想到“怎样围面积最大的”知识，利用数与形的关系，通过表征转换，起到了很好的教学效果。

又如在应用题的教学中，常见的“相遇”问题、“植树”问题等都是可以通过画图等方法进行更加直观地呈现，对于学生理解数量关系有重要的作用，这些思考方式其实也是一种数形结合思想。

三、数形结合思想在小学数学中的教学策略

小学数学教学中数形结合思想的本质是学生建立数形结合解决问题的意识，借助数与形的关系，进行相互的等价转化，从而加深对知识的理解，化解难点，顺利解决问题，发展思维能力。这个过程既需要教师对教材的深刻理解，尤其是对数学思想暗线的分析、目标的把握，也需要学生掌握数形结合的方法。下面具体介绍几种“数形结合”思想在小学数学中的教学策略：

1.在数形结合中培养学生的抽象能力

教师在教学时要充分借助实物、几何直观，发挥数形结合的重要作用，从具体实例到一般意义的抽象概括，引导学生利用数形结合思想突破难点，培养学生的数学抽象能力。比如五年级第一学期在教学“平行四边形面积”的时候，可以引导学生运用转化的思路，通过剪拼，把平行四边形转化为已经学过的长方形，再进行面积公式的推导。通过数形结合的教学，引导学生巧用面积模型，自然理解了长方形面积公式，通过新旧知识联系，掌握算理。只有将精确的数字运算和能表达问题的符号、图形等配合起来，才会更好地体现数学抽象化的魅力，帮助学生更准确地把握“形”的特点。学生在建立了“形”的表征后，再用数字或字母总结归纳出来数学规律或法则，更易理解，也更能体现数学抽象化的魅力。

2.在数形结合中渗透模型思想

在数学中，常常借助字母、数字或其他符号建立起的关系式、表达式、方程、函数、图表等，这些都是数学模型，用来表征特定的现实问题。这些知识往往非常抽象，学生理解起来很难，给教学增加了难度。在教学时要运用数形结合思想，借助于数形关系，进行转化，从而加深对知识的理解，帮助学生建立数学模型。比如在四年级第二学期“位置的表示方法”的教学中，让学生在具体情境中认识“列”与“行”，理解“数对”的含义，从具体的实物图到方格纸的抽象过程，在渗透坐标思想的过程中抽象出“数对”概念，建立数与形的联系，掌握数学抽象的概念，建立数学模型思想。

3.在数形结合中培养学生解决问题的能力

教师应该充分挖掘“数与形”的内在联系，构造图像，提高学生解决问题的能力。比如在教学“乘法分配律”时，可以引导学生从生活实例出发，让学生计算一套桌椅的价格，自然引出两种方法，通过观察比较建立联系，最后抽象出“乘法分配律”字母公式。学生在理解的基础上把握字母公式，既轻松又简单，这比死记硬背字母公式或者反复读“乘法分配律”的一大段概念效果好得多。数形结合教学的最终目的是提高学生解决实际问题的能力。

关于数形结合思想，华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合千般好，数形分开万事休。”因此，在日常教学中，教师要深刻理解数与形是数学的一体两面，增强数形结合的意识，渗透数形结合的方法，引导学生以形释数、以数注形，丰富和发展学生的数感与几何直观能力，提升学生初步的数学素养。

参考文献：

[1] 申玉丽.新课标下对高一学生数形结合思想理解的研究[D].华东师范大学硕士学位论文，2010：12-24.

[2] 王舒瑶.数形结合思想在小学数学教学中的应用研究[D].西南大学硕士学位论文,2015:7-8.

[3] M·W·艾克森，M·T·基恩.认知心理学(第四版上册)[M].高定国，肖晓云译.上海:华东师范大学出版社,2004:365.

[4] 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,2007:160.

[5] 徐文龙.“数形结合”的认知心理研究[D].广西师范大学硕士学位论文，2005:4.

[6] 郑毓信.数学教育哲学[M].成都:四川教育出版社，1995:291.

[7] 徐文彬.数形结合思想的历史发展、思维意蕴与教学价值[J].小学数学教育,2015,(10):3-5.

[8] 罗新兵.数形结合的解题研究——表征的视角[D].华东师范大学博士学位论文,2005.

[9] 王亚辉.数学方法论——问题解决的理论[M].北京:北京大学出版社,2007.