导函数中“恒成立”问题的解决方案

◎方明凯

引言：“恒成立问题求参数的取值范围”的这类问题，在导函数问题中有较大的代表性，以下就这类问题提供两种主要解决方案：一、分类讨论法；二、分离参数法。

例如：已知函数，曲线 y=f（x）在点（1，1），f（1）处的切线方程为x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果当 x＞0且 x≠1时，，求k的取值范围.

分析：本例（Ⅱ）主要考查导数的几何意义及利用导数判断单调性解决恒成立问题，考查了运算求解能力及分析问题和解决问题的能力。对于恒成立问题的解决往往是构造函数对参数的取值进行分类讨论，或是分离参数，也可转化函数求最值。对于此题，若采用移项转化成：要使g恒成立，只须使 g（x）min＞0即可，可问题是对g（x）求导，判断导函数正负谈何容易，即无法判断g（x）的单调性，故只能采用下列两种方法：

[解析]方法一：构造函数对参数的取值进行分类讨论

由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点（1，1），

故有，解得 a=1，b=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

f（x）-（把函数拆成相对简单函数的乘积），由于当x＞0且x≠1时判断的正负很容易，故考虑函数（注意观察式子特征，通过对k进行分类讨论，来判断 h'（x）的正负）.

⑴k-1≤-1时，即k≤0时，由x2+1≥2x知， k-( )1 x2+( )

1+2x≤0.故

当 x≠1时，h'（x）＜0，这时 h（x）在（0，+∞）上为减函数，而 h（1）=0，故

当 x∈（0，1）时，h（x）＞0，可得

而当 x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，可得

从而当 x＞0且 x≠1时，，即 f（x）＞

⑵-1＜k-1＜0时，即0＜k＜1时，观察并对此二次函数 y=分 析 得，当）时，知(k-1)( x2+1)+2x＞0，故 h'（x）＞0，h（x）为增函数.

而 h（1）=0，故当）时，h（x）0，可得与题设矛盾.

⑶K-1≥0时，即 K≥1时，h'（x）＞0恒成立，这时 h（x）在（0，+∞）上为增函数，而 h（1）=0，故当 x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得，与题设矛盾.

综合得，k的取值范围为（-∞，0）.

方法二：（Ⅰ）的解答同上，（Ⅱ）的解答采用分离参数法

移项化简，分离参数得，求 导 化 简 得

令 h（x）=2ln x( x2+1)-2x2+2( x＞0) ，则

令.（由于判断 h'（x）的正负较难，故继续求导）.则

令 h''（x）=0，得 x=1.由于 h''（x）在（0，+∞）上为增函数，故有

当 x∈（0，1），h''（x）＜0，h'（x）为减函数.

当 x∈（1，+∞），h''（x）＞0，h'（x）为增函数.

故当 x＞0且 x≠1时有 h'（x）＞h'（1）=0.

则 h（x）在（0，+∞）上为增函数.

故当 x∈（0，1）时，有 h（x）＜h（1）=0，这时 g'（x）＜0，则 g（x）为减函数；

当 x∈（1，+∞）时，有 h（x）＞h（1）=0，这时 g'（x）＞0，则 g（x）为增函数.

故 当 x＞0 且 x≠ 1 时，有.

则k≤0.故k的取值范围为（-∞，0）.

此题的解决，据同学们反映，对于方法1，掌握起来有些困难，尽管这类题训练的不少，但始终有不少学生弄不清楚分类的原因是什么，讨论的点是什么，始终思路不清晰；但对于方法2，分离参数，求导，继续求导，直到能判断导函数的正负为止，通过导函数来判断原函数的单调性，思路简单，易操作，但中间用到大学内容，须用洛必达法则去解决“”型或“”型的极限，洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

总之，利用导函数解决“恒成立问题”主要有两种思路：一种是采用分类讨论的思想，另一种是分离参数，一直求导，直到能判断单调性为止。无论是采用哪一种，只有掌握它的本质，掌握常见的分析、解决问题的方法，通过适当的训练，才能在应用过程中，快速反应，解决问题。