空间几何体的外接球的体积与表面积的求解策略

摘 要：全国卷中经常考空间几何体的外接球问题，由于学生的空间感不强和对球的性质理解不透彻，导致无法求空间几何体的外接球的表面积或者体积。本文就是要讲解如何解决这个问题。其实无论求哪一种几何体的外接球的表面积和体积，都需要求出球的半径，既然要求出球的半径就要知道球心在哪里，下面就笔者这几年的教学经验和研究，总结了几种方法。

关键词：还原法；定义法；性质法

一、 空间几何体的外接球的体积与表面积

[方法一：还原法——还原成正方体或长方体或圆柱]

结论：1. 正方体和长方体的外接球的直径是它们的体对角线的长。

2. 圆柱的外接球：在圆柱OO1中，AB为底面圆的一条直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段BC的中点，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高位h，球的半径为R，则（2r）2+h2=（2R）2。

例1 直三棱柱ABC-DEF中，侧棱AE⊥底面ABC，三角形ABC中，AB⊥AC，且AE=AB=AC=2，则此三棱柱的外接球的表面积为。

解析：此三棱柱的特点是：从点A出发的三条棱两两互相垂直，

所以此三棱柱的外接球就是以AE，AB，AC为棱长的正方体的外接球，

所以直径2R=22，所以球的表面积为8π。

[总结]哪些几何体的外接球可以还原成正方体或长方体或圆柱呢？常见的情况有：

1. 从同一顶点出发的三条线两两互相垂直（墙角结构）的几何体，如底面是直角三角形的直棱柱，墙角结构的三棱锥，它们的外接球与以这三条线段为棱长的长方体的外接球相同。

2. 正四面体，还原为正方体，正四面体的棱长就是正方体的面对角线长。

3. 直棱柱的外接球就是此直棱柱的外接圆柱的外接球。

[方法二：定义法——利用球的定义找球心]

球的定义：空间中，到一定点的距离等于定长的点的集合。

例2 三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，则该三棱锥外接球的体积为。

解析：∵BC⊥CD，BC=1，CD=3，

∴BD=2，又AD2+AB2=（2）2+（2）2=4=BD2，

∴AD⊥AB，

∴球心为BD的中点（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴球的半径为1，

∴球的体积为4π3。

[总结]能用到定义的三棱锥的特点：

①有两个直角三角形且这两个直角三角形有公共斜边。

②三棱锥A-BCD中，对边AC与BD的公垂线为EF，且E，F分别为AC，BD的中点，则球心在EF上。

[方法三：性质法——利用球心与截面圆圆心的连线垂直截面圆]

有些几何体的外接球的球心如果不能用上面的两种方法找出，还可以用球的性质法。能用到的球的性质有哪些呢？下面介绍几个可以用到的球的性质。①与截面垂直的直径过截面圆的圆心。②连接球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面。③求半径的平方=球心到截面的距离的平方+截面圆的半径的平方。

例3 三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥外接球的表面积为。

解析：由余弦定理得cosB=BC2+BA2-AC22BC·BA=-15，所以角B为钝角，sinB=265，所以△ABC的外接圆的圆心在中线BD的延长线上，

假设为点G，又PC⊥平面ABC，所以PC⊥AC，

所以△PCA为直角三角形，此三角形外接圆的圆心为斜边PA的中点E，过点E作平面PAC的垂线，与过点G且与平面ABC垂直的线交于点F，则点F为此三棱锥外接球的球心，连接FP，△ABC的外接圆直径为6sinB=562，

设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d，则R2=d2+5642=（2-d）2+5642，

所以该三棱锥的外接球的半径R2=838，所以表面积为83π2。

二、 總结

用球的性质找球心时，应该先找这个几何体中的两个特殊的图形（如，等腰三角形，等边三角形，直角三角形等），然后再找出它们的外接圆的圆心，再过每个圆的圆心作此圆的垂线，两垂线的交点就是球心，最后利用直角三角形勾股定理就可以求出半径。

参考文献：

[1] 王朝银.步步高大二轮复习与增分策略[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2017.

[2] 王朝银.步步高大一轮复习与增分策略[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2016.

作者简介：车艳杰，福建省漳州市，平和正兴学校。