探究图形位置，巧求线段最值

江苏省张家港市合兴初级中学 王 伟

学生们要清楚地知道线段的最值问题是求线段长度的最大值或者最小值、线段和或差的最大值或者最小值。这些问题往往取材于线段、三角形、四边形等基本图形，经常与函数问题相结合，运用两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和(或差)大于(或小于)第三边、函数的最大值或最小值等来结合运算。教师在实际的教学过程中要不断地灌输解题策略，促进学生们的解题能力产生质的飞跃。

一、巧构三角，求不定线段最大值

学生们要知道求解不定线段最值的方法，这其中构造三角形的方法可谓是化解难题的一把金钥匙！既然要构造三角形，那么就需要知晓在求线段最值下三角的定义。如果PA、PB是两条定长线段，AB是一条不定的线段，根据三角形三边关系号当且仅当P、A、B三点一线时成立)，由此就能求得不定线段AB的最大值或最小值。

例1：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上。当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点的最大和最小距离。

解析：根据题意，可取AC中点D，连接BD、OD，那么BD、OD为定长线段。 当点B在第一象限，且B、O、D三点共线时，最大值当点B在第三象限，B、O、D三点共线时，最小值

点拨：此题主要考查了两点间的距离以及勾股定理的应用，本题的难度较大，难点和关键在于找到定长的两条线段。这时要求学生能根据题意，结合图形特征与性质去突破。需要注意的是，在此过程中，学生要明确斜边一定的直角三角形的斜边中线为定值，两平行线间的距离为定值等。细分析，巧添加适当的辅助线来帮助解题。开阔自己的思维，让成绩产生质的飞跃。

二、垂线段最短，巧求线段的最值

此前，学生已经掌握了“两点之间线段最短”，最短距离为“点点距”等定理，其中，“点点距”指的就是点到点的距离；而“垂线段最短”，最短距离为“点线距”，指的是直线外一点到直线的距离。在初中数学中，过两点有且只有一条直线。综合以上，在求线段最值的时候，学生们要找到最值的节点，利用好“垂线段最短”这个定理，巧妙地化解难题。

例2：如图所示，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是多少？

解析：根据题意，我们可以知道AB=10，AC=8，BC=6，于是AB2=AC2+BC2，∠ACB=90°，故PQ是⊙F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB，FC+FD=PQ，所以CF+FD＞CD，点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，因此有CD=BC，PQmin=4.8。

点拨：本题利用了切线的性质、勾股定理的逆定理、三角形的三边关系、直角三角形的面积公式等定理求解。“垂线段最短”是求线段最值的解题关键，与此同时，运用动态的观点，结合图形性质，多数情况下要构造直角三角形，利用直角三角形的性质灵活解决问题。

三、创建函数模型，求线段最值

在初中数学中，函数的数学思想占据着大量的篇幅，合理地建立函数模型将帮助学生们打开思维之门，因此，教师在教学的过程中就要不断地灌输，在解题与函数思想之间架设好桥梁。下面我将引领学生们从函数的模型角度去分析如何求解线段的最值，学生们要明确一些动态问题的两个变量之间存在着某种函数关系。由此，学生建立函数关系式，在自变量取值范围内利用函数性质求线段最值，这样便能巧妙运用数形结合思想，让解题更加清晰明了。

例3：如图所示，在△ABC中，AB=AC=10， 点D是 边BC上一动点(不与B、C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且求CE的最大值。

解析：由题意可以作AG⊥BC于G，如图所示，因为AB=AC，所以BG=CG，又∠ADE=∠B=α，故BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16-x，于是α+∠CDE=∠B+∠BAD，故∠CDE=∠BAD，而∠B=∠C，那么△ABD∽△DCE，因此当x=8时，CE最大，最大值为6.4。

点拨：在本道题中没有大量的计算，都是在三角形中进行转化，考查了相似三角形的判定和性质，运用三角形的判定和性质以及三角函数求边长等。同时运用了数形结合，把几何问题代数化，简化问题。学会利用“三角函数”的性质，将知识点进行转化，在问与答之间架设好桥梁，这也方便了学生解题，接受新的知识，做题也更加轻松，遇到难题也知道如何解决。

通过上述例题的讲解，学生们应该知道了线段的最值问题需要在动态情形中对图形特殊位置做出深入的探索。当然也需要教师不断去摸索，总结出经验，及时穿插到教学中，把正确的解题思路分享给学生，而学生们要想掌握线段最值问题的常用方法，就需要不断地练习，找寻到问题的关键所在，才能解决根本问题，才能突破自己，收获到事半功倍的效果。