对圆锥曲线中的一个定值问题的探究

河北省邯郸市第一中学 冯竞超

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容， 综合程度高、思维量大，但是任何一个综合性问题都是由一些基本问题组合而成的，破解这类问题的关键是将其分解，从这些基本问题出发，然后进行突破。本文对邯郸市2017届高三质量监测中的一道解析几何题进行了研究，并对结论进行了推广，与同仁探讨。

一、解法探究

解：（1）略。椭圆的方程为

（2）思路探究：

基础问题1：∠MPN等于多少？

根据一般与特殊的关系，取点P的特殊位置，如图1，此时PM斜率不存在，PN斜率为0，∠MPN=90°，所以猜想这个定值为90°，这虽然不是严格的证明，但却给我们提供了一个努力的方向。

图1

问题的解决有多种途径，但我们应该从直线与椭圆相切寻求利用哪个等价条件。

基础问题2：如何利用直线与椭圆相切？

通过联立直线和椭圆方程，利用判别式Δ=0得到相切，设P

二、进一步探讨

本题属于探究定值问题，上面的做法是根据特殊性猜想结论，再由演绎方法证明结论，这是数学发现的重要思维方式，较好地体现了思维的过程。

通过探究我们可以得出一般的结论：