基于数学素养发展的初中拓展性课程的构建与实施研究*

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(富阳区永兴学校初中部，浙江 杭州 311400)

1 问题提出：陈述现状之“困”

新课标浙教版初中数学教材对旧教材知识结构进行了调整，设置了“探究活动”“设计题”和“课题学习”等栏目，其意图在于让学生经历知识的发生过程，给他们提供探索、实践和创新的机会.教材中还引入了“阅读材料”，旨在让学生接触有趣的数学史，开阔他们的数学视野.但在实际的教学过程中，这些具有特定教学功能的内容却陷入了“高价值低使用”的尴尬境地.对于“阅读材料”(约24篇)，教师们在课堂上往往说得最多的一句话是：“有兴趣的同学可以课后自己阅读”，这样“一言以蔽之”；对于“课题学习”或“设计题”(约28处)，这些与考试不直接相关的内容似乎没有进入教师的教学视野，难以“引起关注”；对于“探究活动”或类似探究的“习题”(约37处)，教师在教授这些具有一定趣味性又带有较高研究价值的内容时，往往“简单化”处理，“匆匆走过场”；对于涉及生活内容的表述、图片等(达174处)，少有教师对其进行充分利用并予以深度教学，这些生活元素他们似乎“无心挖掘”.

基于上述“不太乐观”的教学事实，课题组与校内外不同层面的数学教师进行了访谈与交流，他们认为“阅读材料”是重要知识，但不在考试检测范围内；“探究活动”虽能培养学生的思维过程，但开展起来太费时间；“课题学习”会增加学生负担而挤压他们的作业时间；教师们一致认为应该把“生活素材”融入教学中但操作起来“力不从心”.

分析了教师们的教学之“困”后，如何帮助他们解决这些困难与困惑呢？如何发挥新课标教材中“阅读材料”“探究活动”“课题学习”“生活元素”的重要价值？课题组的视野落到了将新教材改编的理念与数学校本课程构建的结合点上.在数学基础性课程的基础上，围绕“阅读材料”“探究活动”“课题学习”“生活元素”开展了数学拓展性课程的构建与实施研究.

2 研究设计：寻求解决之“法”

2.1 理性思考——统整、拓展、补充基础性课程

如何构建拓展性课程？课题组认为，应对基础性课程中的“阅读材料”“课题学习”“探究活动”等内容进行3步操作：1)统整，即同类合并、异类分项；2)拓展，即对同质的材料予以知识、方法以及思想上的延伸；3)补充，即结合初中生的学习能力和现实生活需求予以内容上的完善.经过“统整”“拓展”和“补充”过的材料就分别形成了一个较为完整的知识系，即各类拓展性课程.

2.2 概念界定——尝试构建数学素养的基本内涵

《普通高中数学课程标准》修订组提出了6种核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[1].数学课程与教学论专家喻平对数学素养的核心成分进行了析取的实证研究，数学素养包含数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据(分析)处理、空间(想象)能力、问题解决能力、数学文化品格等[2-3].课题组借鉴、融合上述观点认为：数学素养是具有数学内涵的思维、能力与态度，具体包括数学文化、数学抽象、数学推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，数学文化包含数学传承和理性精神，数学抽象包含概括能力和表征能力，数学推理包含逻辑推理和类比推理，数学建模包含转化能力和构造能力，直观想象包含几何直观能力和空间感知能力，数学运算包含法则运用能力和计算能力，数据分析包含数据理解能力和数据处理能力.

2.3 课程架构——着眼素养发展构建拓展性课程

基础性课程是拓展性课程的“活水源”.从培养学生的数学素养出发，课题组梳理、拓展、补充教材中的“阅读材料”“探究活动”“设计题”“课题学习”“生活素材”等内容，构建了“数学史拾趣”“数学实验”“数学思想与方法”“生活中的数学”这4门拓展性课程的核心内容(详见表1).

表1 拓展性课程内容来源表

篇幅所限部分内容省略.

基于以上内容线索，课题组围绕“基础性课程”“拓展性课程”与“数学素养”之间的关系搭建了一个逻辑框架，如图1所示.

图1

从图1可以发现，拓展性课程从基础性课程中“独立”出来并“发展壮大”，以便更有力地促进学生数学素养的发展，这两类课程在本质上是互融互补的.

3 实践操作：探索实施之“道”

如何让开发的拓展性课程转化为学生的数学素养？课题组认为应在“学生探究体验、动脑动手的理念下”围绕每门课程的特性构建与之相应的实施模型与方式，具体可以从以下4个方面展开.

3.1 “史料加工”塑造文化品格

“数学史拾趣”是一门融数学史上重要事件、人物与成果于一体的“数学文化性”课程.学生通过该课程的学习可以获得数学知识、数学方法以及数学精神等重要素养.

1)实施模型.

根据数学史科学性与人文性的特点，课程实施的核心是阅读、演绎和转化.阅读即让学生自主阅读数学史料，了解某一重要历史事件所渗透的数学知识及其发生发展的历程，感悟数学家为真理孜孜以求的高贵品质以及严谨求实的科学精神等；演绎即让学生对某一数学知识的发展历程进行模拟式的再现，体验数学知识的产生过程，经历“数学家”的发现轨迹，习得特定的数学方法；转化即让学生将所学到的知识自觉应用到相关的生活情境之中，将感受到的“数学精神”内化为自身的学习品质，不断追求成功、创造卓越.具体的实施模型如图2所示，这一模型指向学生“数学文化”“数学推理”等素养的发展.

图2

从图2可以发现，从“数学史实”到“数学素养”的形成要经历学生的“自主阅读”“自觉演绎”以及“自我转化”.值得一提的是，有些“介绍性”的数学史料经过学生阅读后可以“无形”地内化为自身的学习素养，但有些“过程性”的数学史料经过学生阅读后还需辅以“探究性”的理解和“迁移式”的应用才能真正转化为自身的数学素养.

2)实施方式.

基于以上实施模型的内涵，如何在具体的课程内容上开展教学呢？课题组认为要把握好4个环节：一是“引入故事”，即学生讲述或阅读某一数学历史故事；二是“理解概念”，即师生共同抽取“故事”中的核心概念并加以吸收；三是“再现原理”，学生用工具或“模型”解读“故事”所阐述的数学原理；四是“迁移应用”，即学生能把“原理”与生活中的实例予以关联并能合理应用.

现以“哥尼斯堡七桥问题”为例予以阐释.首先，学生图文并茂地讲述18世纪哥尼斯堡七桥问题的故事，抛出问题——一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点.然后，师生共同讨论，将哥尼斯堡七桥的情景转化为一个图——把生活问题抽象成数学图形.再次，学生用“画图”的形式结合七桥问题呈现与解释欧拉定理.最后，教师抛出物流业中“如何节省成本”的问题，让学生利用欧拉定理科学设计物流路线，不走或尽量少走回头路.

3.2 “实验行动”织造思维过程

“数学实验”课程是一门融数学问题的过程与结果、操作与思维、实验与论证于一体的“动态性”课程.学生通过手脑并用“做”数学的过程获得丰富的数学经历和体验，形成直观的数学理解等.

1)实施模型.

数学实验是学生运用一系列常规工具(如三角板等)与媒体工具(如几何画板软件等)，在数学思维活动的参与下进行的以实际操作为特征的数学验证或探究活动.课程实施的核心是合理选择工具、操作探究、发现结论和验证真伪.合理选择工具即让学生根据数学问题的类型选择合适的探索工具；操作探究即学生在教师的指导下动手操作，用“形”的方式还原或探索某一命题的发生发展过程；发现结论即学生通过动手实践获得直观感知和形象思维，再通过感性与理性的结合抽象出数学原理与方法，从而获得数学结论.验证真伪即学生通过操作实物模型或技术工具，对结论或命题进行证实或证伪.具体的实施模型如图3所示，这一模型指向学生“数学抽象”“数学运算”等素养的发展.

图3

从图3可以发现，“操作探究”是数学实验中最重要的环节.它需要学生动手动脑、观察分析、思考判断，在一系列的思维过程与操作体验中获得探索、推理、理解、概括抽象等数学素养.

2)实施方式.

基于以上实施模型的内涵，如何在具体的课程内容上开展教学呢？课题组认为要把握好4个环节：一是理解命题，即学生要充分理解某一命题所表达的要求或意义；二是探索方案，即学生要将命题的内容进行“可视化”的探索，这里的探索容纳着“尝试、改正与改进的过程”；三是实验分析，即学生在实践探索后要进行计算、推理和验证；四是归纳(判断)结论，即学生在实验分析的基础上形成命题的原理性知识或判断出命题的真与假.

现以“正方形纸片剪拼”为例予以阐释.首先，学生观察与思考：把一张8×8的正方形纸片剪成4块(如图4所示)，按图5重新拼合，这4块纸片是否能拼成一个长是13、宽为5的长方形？然后，学生进行动手操作，做一张如图4所示的正方形纸片，按图示的虚线分割，再按图5的方式拼合，发现4块图形拼合时，中间出现“缝隙”，两个大直角三角形的斜边并不重合.再次，学生分析不能拼合的原因是图4的面积是64，图5的面积是65.最后，学生作出判断：“缝隙”是一个面积为1的细小的平行四边形，肉眼难以观察到；“数学不能简单相信观察，可以用实验来证伪或证实”.

图4 图5

3.3 “项目学习”锻造思想方法

“数学思想与方法”是一门用蕴含着数学思想与方法的经典问题让学生进行项目式学习的课程.学生通过某一“项目”的学习，深度理解特定数学思想和方法的内涵及其可能的应用“环境”.

1)实施模型.

项目学习是让学生主动探索某一“问题”，并通过问题的解决与反思对“成果”进行展示与评价，从而构建起一系列解决问题的“思想与方法”的活动.课程实施的核心是具象分析、方法探索与思想提炼.具象分析即让学生分析“项目”的目标与条件，也就是所要解决问题的目标指向与现实条件；方法探索即让学生探索达成“项目”目标的可能性方案并付诸实施予以检验和评价；思想提炼即让学生集中大家的智慧，对所有可行的方案进行归纳总结、抽象概括，从而形成特定的数学思想与方法.具体的操作模型如图6所示，这一模型指向学生“直观想象”“数学建模”等素养的发展.

图6

从图6可以发现，“数学思想与方法”既是解决问题的工具又是项目学习的结果.其实，学生“数学思想与方法”的形成要经历从“无意识”的尝试到“有意识”的抽象两个阶段.一旦学生掌握了“思想与方法”并形成了相关的数学素养，他们就会进入到“合理”运用的阶段.

2)实施方式.

基于以上实施模型的内涵，如何在具体的课程内容上开展教学呢？课题组认为要把握好4个环节：一是分析问题，即学生全面把握问题特征；二是制定策略，即学生运用所学知识探求解决问题的思路以及可能用到的“工具”；三是实施评价，即学生用所设计的策略尝试解决问题并评估“过程”效率与“结果”质量；四是挖掘提升，即学生对解决问题过程中的关键“要素”进行挖掘，将其提炼为一种数学思想或程序方法.

现以“勾股定理探究”为例予以阐释.首先，教师让学生思考：勾股定理反映的是直角三角形3条边的关系，现有的证法对你有什么启示？然后，学生根据课堂提供的思路、文献检索、利用几何画板工具等途径进行探究，探索出多种不同的证明方法，比如无字证法等.再次，教师让学生反思：这种方法利用了什么数学知识以及简便性如何等.最后，师生综合所有的探究结果，归纳“各种证法”背后的数学思想与方法，比如数形结合的思想、转化的思想以及“等积法”“相似法”等.

3.4 “生活实践”打造应用理性

“生活中的数学”课程是一门利用数学知识解释生活现象或运用数学技能、方法与思想解决现实生活问题的课程.学生通过该课程的学习可以增强“用数学”的意识和能力.

1)实施模型.

“生活中的数学”是学生把生活中某些复杂的数学现象进行转化、分析或解释，合理设计解决方案并达成特定目标的学习活动.课程实施的核心是情境转化、(合理解释)问题分析和数学建模.情境转化即让学生对生活现象进行分析并将其转化为具体的“事件”或问题；合理解释即让学生用数学知识解释某一事实，陈述其存在的合理性，这是一种“解释型”解决方法；问题分析即让学生对数学问题进行条件与目标之间“差距”的判断与思考；数学“建模”即让学生设计问题解决的操作思路、步骤与方法.具体的实施模型如图7所示，这一模型指向学生“数据分析”“数学运算”等素养的发展.

图7

从图7可以发现，“生活中的数学”课程主要培养学生用数学解释生活和解决生活问题的能力，遵循“从生活中来到生活中去”的理念.亦即从生活事例中挖掘、提炼具有丰富内涵的数学问题，让学生从问题的解释与解决中习得数学素养后又回归到现实生活的应用之中，真正做到“学数学用数学”.

2)实施方式.

基于以上实施模型的内涵，如何在具体的课程内容上开展教学呢？课题组认为要把握好4个环节：一是获取信息，即学生从生活“事件”中获取关键信息；二是抽取问题，即学生将获得的重要信息转化为数学问题；三是分析建模，即学生利用原有认知分析问题的实质，建立解决问题的策略与方法；四是尝试解决，即学生用数学知识、方法解决问题.

现以“平面图形的密铺”为例予以阐释.首先，学生感知生活中一些神奇的图案，并获取图案构造的相似性信息，如图案中的几何图形不仅形状相同、大小也一样，这些几何图形之间既没有缝隙也没有重叠等.然后，师生将以上“信息”转化成“四边形拼接时，拼接处有几个角，与四边形内角有什么关系”等问题.再次，学生根据一系列问题寻找多边形密铺的条件与“原理”，如“正多边形在一个镶嵌顶点处的各内角之和为360°”“任意形状的三角形和任意形状的四边形都可以密铺”等.最后，学生根据所得到的结论与建立的“模型”，进行不同条件的密铺尝试活动，设计出了有创意的精美图案.

4 研究成效：催生教育之“长”

4.1 课程与教学相长

1)突破了教学瓶颈.

拓展性课程的构建与实施，有效化解了基础性课程教材中重要栏目的落实与教学课时限制之间的矛盾，是对基础性课程实施瓶颈的有效突破，达成了新课程所要求的深层次目标.

2)丰富了课程资源.

本研究形成了较为完善的数学拓展课程体系.该体系从内容上广泛吸收基础性课程以外的数学教材之长，编写了4本拓展性教材以及配套的校本作业；在实施上构建出了4种操作模型与方式；在教学实践中积累了大量的教学经验与案例.

3)引领了课改方向.

笔者所在学校数学拓展性课程的构建与实施，得到了浙江省教育厅教研室的高度肯定与重视.在浙江省“义务教育拓展性课程开发与实施”专题研讨会议上，课题组作了“初中数学拓展性课程开发的实践与思考”的主题发言，介绍成功的经验与做法.

4.2 学生与教师并进

1)激发了学习兴趣.

从学校微信公众号选课平台的统计来看，学生非常喜欢数学拓展性课程，本学期还出现了网上“抢课”的现象.课程的“受欢迎度”直接表明拓展性课程与教学深层次地激发了学生的学习兴趣.相应地，兴趣的激发对学生潜力的挖掘也有着助推作用.

2)发展了数学素养.

实践表明，学生通过拓展性课程的学习后，数学推理、抽象能力等素养得到了一定程度的提升.拓展性课程的“阅读”“实验”“探究”“实践”让学生形成了主动学习，自觉应用数学的意识.在校内数学节“数学DIY”活动中，据调查，选修过“生活中的数学”的学生所提供的解决方案或作品质量明显高于没有参与选修的学生.再如，在“桥梁建模大赛”中，一位一等奖获得者在谈成功的体会时说道：“我的很多想法都是在‘数学实验’课上学到的！”简言之，不同的学生在数学素养上得到了不同程度的发展.

3)提升了教师能力.

拓展性课程的构建与实施对教师的影响主要表现在两个方面：一是转变了教师的教学观，改变了相应的教学模式.教师充分发挥学生的主体地位，让他们在合作中收集材料、制定方案、备课上课、制作作品、撰写论文等.二是促进了教师教科研水平的提高.数学拓展性课程的构建与实施在学校中营造了浓厚的教学和科研氛围，激发了教师的动力，切实提升了教师的教学和科研水平.课题组两年的研究积累了许多拓展性课程实施的经验与教学方法，撰写了13项关于数学拓展性课程的成果，如研究报告、论文与案例等.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版社,2018.

[2] 喻平.数学学科核心素养要素析取的实证研究[J].数学教育学报,2016,25(6):1-6.

[3] 董林伟,喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报,2017,26(1):7-11.