追求逻辑连贯、生长自然的教学设计

柳苗

摘 要：基于章建跃先生“逻辑连贯，自然生长”的理念。设计一以“圆心角和同弧所对圆周角的位置关系、数量关系”为生长点，构建了逻辑连贯的学习路径；设计二退到知识的本源。以圆周角→圆上三个点→圆心到三点距离相等→三个等腰三角形（三图归一）→定性解决，考虑定量这一逻辑链证明圆周角定理，并认识到圆的问题都可退到等腰三角形，促进新知自然生长。

关键词：圆周角；逻辑连贯；教学设计.

本节课是浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“圆周角”第一课时的内容。基于逻辑连贯、自然生长的理念，设计一以圆心角学习路径的类比迁移为主线；设计二以知识本源出发形成知识系统为落点，实现知识自然生长。

一、教材关于圆周角位置分类的设计及教学反思

学生通过作图、测量，得到猜想：“同弧所对的圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。”在证明过程中，分类讨论是难点。因此，如何使学生认识到分类的必要性，并能自然地想到分类标准，是教学设计需解决的问题。

1.人教版教材：将直线AO与圆周角的位置关系作为分类标准。

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2.浙教版教材：将圆心与圆周角的位置关系作为分类标准。

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3.对上述两种分类标准的反思：学生不明白“为什么要这样分类？”

笔者在教学实践中，发现这两种分类标准学生都很难考虑到。虽然人教版中的折痕AO在证明过程中起到了辅助线的作用，但如何想到要沿AO折叠？学生感觉很突兀。因此，这一想法不是学生自然的思维过程。浙教版中将圆心与圆周角的位置关系作为分类标准同样存在上述疑惑：虽然在之前的合作学习中已有了“当点A在弧BEC上运动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？”这样的铺垫，但学生还是想不到为什么要选圆心与圆周角的位置作为分类标准。因此，本课的教学难点没有很好地突破。

二、同弧所对圆心角和圆周角位置、数量关系为生长点的定理证明设计

1.将同弧所对圆周角与圆心角位置关系作为分类标准

问题1：（1）研究同弧所对圆心角与圆周角的数量关系，先确定什么？

（2）它们之间的位置有几种情况，请你画一画，说一说？

意图：要证明“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半”这一定理，首先要确定它们的位置。因此，问题1通过让学生画一画，然后交流讨论，自然地得到图6、图7、图8三种情况。笔者认为，将同弧所对圆周角与圆心角的位置关系作为分类标准相比较以上教材中的两种方法，学生更易想到。

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2.利用基本图式“红旗型”，从特殊到一般引导学生证明

问题2：在图6、7、8中，哪种情况较特殊，能证明∠BAC=■∠BOC吗？

意图：引导学生通过比较，寻找到特殊情况，即圆周角与圆心角的一边在同一直线上。学生容易利用等腰三角形与三角形外角的知识证明∠BAC=■∠BOC。师生可及时提炼出这一圆中的基本图式，形象地称为“红旗型”，为证明图6、图8中∠BAC与∠BOC的数量关系作好铺垫。

问题3：能否将图6中的圆周角与圆心角转化为含有“红旗型”的图式？如何添加辅助线？如何证明∠BAC=■∠BOC？

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意图：充分利用“红旗型”基本图式及其结论，引导学生将一般转化为特殊，通过连接AO并延长交圆O于点D，使学生意识到图6就是两个“红旗型”的组合，如图9所示，自然地利用问题1中的结论来证明问题2。

问题4：能否利用上述添辅助线的方法将图8转化为“红旗型”？与图9之间有何联系与区别？如何证明∠BAC=■∠BOC？

意图：首先引导学生通过方法的迁移，即连接AO并延长交圆O于点E，发现图8也能转化为“红旗型”，如图10所示。然后顺势引导学生对图9、10进行比较，发现都由两个“红旗型”组成，只是位置分别在直径AD的同侧、异侧。学生易想到仍利用问题1中的结论来证明问题3。

三、“以退为进”，从本源上理解圆周角定理的教学设计

问题5：如图9（1），圆周角∠BAC中，点B、A、C三点有何共同特征？

意图：通过问题1，引导学生观察弧所对的圆周角，三个点在圆上，所以到圆心的距离相等，即OA、OB、OC三条线段相等，自然过渡到了问题2。

问题6：连接OA、OB、OC、BC，能得到什么？你能证明∠BAC=■∠BOC吗？

意图：如图9（2）、（3），通过连接OA、OB、OC、BC，引导学生发现形成了三个等腰三角形，问题就转化成了证明等腰三角形底角与顶角的关系。因为本质上圆所起的作用就是控制了点到圆心距离，所以就不需要考虑圆了，只有三个等腰三角形。

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问题7：将点A在圆弧上运动（除弧BC外），三个等腰三角形的位置关系是否发生变化，此时∠BAC=■∠BOC還成立吗？

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意图：如图10，引导学生发现顶点A在运动的过程中，三个共顶点的等腰三角形位置在发生变化（当B、O、A三点共线时，△BOA不存在），所以要进行分类讨论，再证明∠BAC=■∠BOC。学生完整的经历了“圆周角—圆上三个点—圆心到三个点的距离相等—三个等腰三角形（三图归一）—定性解决，考虑定量”的探索过程，体验“以退为进”的学习策略。

问题8：想一想，我们还学习了哪些关于圆的定理？能否利用等腰三角形的性质证明呢？

意图：引导学生回顾垂径定理、圆心角定理，并利用等腰三角形性质证明。使学生感悟到以上定理都能退到等腰三角形加以证明。接下来学习圆周角定理推论、圆内接四边形性质，都可引导学生回到本源“等腰三角形的性质”，使得学生能透过圆中纷繁复杂的定理看清本质，置知识于系统中。

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如图11（1），垂径定理：可利用等腰三角形三线合一证明；如图11（2），圆心角定理：可以从两个共顶点的全等的等腰三角形去考虑；如图11（3），圆周角定理：如问题5、6所述，可以从三个共顶点的等腰三角形去考虑。其中“90°的圆周角所对的弦是直径”可从A、O、B三点共线时的角度去证明；如图11（4），圆内接四边形性质：除利用圆周角定理外，也可退回本源，从四个共顶点的等腰三角形的角度来证明。

章建跃先生曾说：“在课堂教学中，要以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。”因此，既要注意进，更要注意退，抓住知识本源，构建学习路径，才能呈现知识的自然生长。

参考文献：

1.章建跃.构建逻辑连贯额学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2013（6）：5-8.

2.杭毅.注重教材整合凸显思想方法—以“圆周角（第一课时）”教学为例[J].中国数学教育（初中版），2015（12）：35—38.

（作者单位：浙江省杭州市余杭区径山镇中学）