基于课堂活动意外生成的教学实践

☉江苏省梅村高级中学 范永明

数学课堂会在解决预设问题上展现出师生共同的智慧与诸多不同的思维火花，学生在思考中常常会产生新的问题，有的可能是教师预设的，但有的却是教师意料之外的，数学课堂往往因为这些真实课堂现象的产生而变得更加灵动和精彩.笔者近日在“解三角形与三角函数”这一内容的二轮复习中也精心挑选了一部分的课堂例题与练习，并根据自己的教学设计作出了一定的设想，不过，例题解析与当堂预设练习结束之后却产生了一个“意外”并因此引发了师生对余弦定理逆命题的共同讨论，笔者也在学生思考与探索的基础上对正弦定理的逆命题进行了思索并因此有了新的收获.

一、预设问题

例题 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、

（1）求∠C的大小；

（2）若求c的取值范围.

解析：（1）解答过程略）.

（2）在△ABC中

由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab≥2ab-（当且仅当a=b时取等号），且c＞0，因此

课堂练习：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且

（1）求证

（2）若sin A+cinC=p sin B，求p的取值范围.

解析：（1）在△ABC中，由余弦定理可得co当且仅当a=c时取等号），因此

（2）在△ABC中，由正弦定理可得a+c=pb.

二、形成意外

有学生在上述问题讨论结束后举了手.

生：基本不等式也能研究此问题.

师：怎么用呢？

生：对等式a+c=pb左边结合基本不等式得当且仅当a=c时取等号），则所以

生：这样只有p的下限.

师：怎样来研究p的上限呢？

生：从|a-c|＜b＜a+c这一三角形的存在条件来试试，在不等式两边同时平方得（a+c）2-4ac＜b2＜p2b2，即（p2-8）b2＜b2＜p2b2，解得1＜p＜3.

师：很好，我们的第二种解法这样来做就完美了.

生：第二种解法之中为什么必须加上三角形存在这一条件才能求得正确答案呢？例题中的解法与第一种解法对这一条件又不需要考虑.

笔者在接收到学生的这一疑问时暗自思量：这正是可以引导学生深入思考的余弦定理逆命题成立与否的问题.

师：很好，三角形的存在性这一条件应在什么时候考虑是解题中非常重要的一个因素，解题的效率与准确率与之息息相关，我们再来研究一下本题探究过程中所用到的知识.

生：余弦定理与基本不等式是例题的解决中应用的，余弦定理、三角形内角余弦值的范围与正弦定理是解法一中应用的，基本不等式、正弦定理与三角形存在条件则是解法二中所应用的知识.

师：大家对这三种解析过程中所应用的知识上的差异有何体会呢？

生：解法二中没用到余弦定理.

师：这是不是代表了余弦定理和三角形存在性条件存在一定的关系呢？会是一种巧合吗？

生：可以研究一下是不是运用了余弦定理就不要考虑三角形存在性这一条件了.

师：如果我们的推理是对的，那么就会有以下这一命题：如果a、b、c是正实数且θ∈（0，π），满足a2=b2+c2-2bc cosθ，则长为a、b、c的线段是可以构成三角形的.同学们以为这一命题正确吗？

生：也就是从a2=b2+c2-2bc cosθ这一条件能推出|b-c|＜a＜b+c.

生：由θ∈（0，π）可得cosθ∈（-1，1），所以（b-c）2=b2+c2-2bc＜b2+c2-2bc cosθ＜b2+c2+2bc=（b+c）2，也就是|b-c|＜a＜b+c，因此长为a、b、c的线段可以构成三角形.

师：很好，我们证明了正实数a、b、c在满足a2=b2+c2-2bc cosθ这一条件下可以构成△ABC，那么∠θ和△ABC之间可有一定的关系？

生：θ=A.在△ABC中，根据余弦定理可得cos A==cosθ，则cos A=cosθ.又因为A、θ∈（0，π），所以结合y=cos x的单调性可知A=θ.

师：到这一步我们也就证明了如果a、b、c是正实数，θ∈（0，π）且满足a2=b2+c2-2bc cosθ这一条件，则长为a、b、c的线段是可以构成三角形的，而且边a的对角是θ.

生：余弦定理和这一结论看起来很相似.

师：那么大家以为这一结论作为真命题跟余弦定理是否存在一定的关系呢？

生：是余弦定理的逆命题.

师：很好，这也代表着余弦定理的逆命题是对的.

三、挖掘问题

课堂活动的意外生成及具体的探究过程使学生明白了长为a、b、c的线段之所以可以构成三角形，那都是因为余弦定理中的等式所产生的作用，那么同样作为三角形求解时经常会用到的工具，对正弦定理来说会不会也存在相似的结论呢？即：如果a、b、c是正实数，α、β、γ∈（0，π），且满足则长为a、b、c的线段可以构成三角形，且a、b、c三边的对角为α、β、γ.

不过，如果上述命题则不成立，实际上，加上条件α+β+γ=π就可以了.

定理：如果a、b、c是正实数，α、β、γ∈（0，π），α+β+γ=π，且满足约定：a≤b≤c，α≤β≤γ），则长为a、b、c的线段可以构成三角形且边a、b、c的对角是α、β、γ.

又因为α和A是锐角，结合y=sin x的单调性可得α=A.

同理可证得β=B，γ=C.定理得证.

正弦定理逆命题的研究因为正弦函数和余弦函数之间的差异而变得更加复杂.

四、反思问题

本课因为学生对余弦定理和三角形存在性关系之间的疑问与讨论继而产生余弦定理的逆命题的热烈讨论与探究，学生在一系列探讨中进一步理解了余弦定理的内涵，学生也因此对数学知识的本质的探索产生了兴趣.笔者也因为学生的思维导向对正弦定理的逆命题进行了新的思考，给出证明的同时也对正弦定理形成了新的理解.

具有灵活生成性与不可预测性的课堂教学活动是不断发展推进的动态过程，新课程标准早就提出了有效的数学教学活动是教师教和学生学相统一的观点与要求，并同时强调了学生是学习主体、教师是组织者与引导者的准确定位.因此，教师在动态生成的课堂教学中应充分发挥组织与引导的巨大作用并对原有的课堂预设进行及时而科学的调整，将课堂生成的意外资源充分利用起来并使学生的积极性得到最大的发挥，使得数学课堂因为这些美丽的意外而充满活力与精彩.

教师必须具备一定的调控与应变能力才能更好地驾驭课堂活动中这些美丽的意外生成，课堂教学艺术的体现及教师能力的展现是教学智慧的合成与展露，教师只有站在教与学的角度不断学习并提升自己的专业知识与人文素养，才能站在更高的角度来挖掘教材中的知识内涵、思想方法及教材教法，深入研究并不断提升自己业务水平的同时真正做到教学相长.F