(2+1)维BKP方程的Lump解

武晓晨，翟文研

(浙江师范大学 数理与信息工程学院, 浙江 金华 321004)

1 引言

众所周知，非线性方程的精确解可以有效地描述和解释许多物理现象。精确解中的孤子解[1-4]，呼吸子[5]，有理解[6,7]等都具有广泛而深远的研究意义。Lump解作为有理解的一种，一方面可以从Hirota双线性出发，借助Maple代数软件来求得，比如DSII方程[8]，Ishimori-I 方程[9]和KPI方程[10]等。 另一方面，Lump 解也可通过非线性叠加公式[11-12]和BT变换共同作用得到。 所得的Lump解有其独特的特点：在空间的所有方向上具有非奇异性和衰减性，因而，寻找非线性微分方程的有理解具有重要的理论意义和实用价值。

文章分为两块内容求BKP方程的Lump解，第一块内容依据非线性叠加公式和 BT变换。第二块内容从Hirota双线性出发，借助Maple计算软件求解Lump解。

2 运用Backund变换求BKP的Lump解

本文研究(2+1)维BKP方程

(1)

通过变量变换

u=2(lnf)

得到BKP方程的Hirota双线性形式：

(2)

其中Dx,Dy和Dt被定义为

方程(1)的BT变换[14]为

(3)

其中k是一个常数.

依据KP方程的叠加公式，我们不难得出BKP方程的叠加公式。

[Dx-(k1+k2)]f0·f12=[Dx+(k1-k2)]f1·f2

(4)

其中ki(i=1,2)是自由参数。

接下来，依据(4)可以求得BKP方程的Lump解。设f1=θ1+β1,f2=θ2+β2,其中θ1=g-ih,θ2=g-ih,(i2=-1),g=a1x+a2y+a3t+a4,g=a5x+a6y+a7t+a8,其中aj(1≤j≤9),β1,β2是任意的实参数。为了求解方便，设g=1并且把f1,f2,g代入(3)，参数k1,k2,a3,a7满足

(5)

设f12=Aθ1θ2+Bθ1+Cθ2+D,

(6)

其中A，B，C，D是自由参数。

将f12代入公式(4)，假设B=C=0 得到

(7)

和

(8)

通过简单的代数运算，f12可以化简为

(9)

将(5)式代入方程(2)，可以得到

(10)

参数要满足条件：a1a6-a2a5≠0和a1a2+a5a6<0，以此保证f12的非奇异性。这样函数f12中包含了六个参数a1,a2,a4,a5,a6和a8, 在这些参数中,a4和a8是任意常量。比较文献[15]中的Lump解，这种方法求出的Lump解包含更多的参数，这样就使得解具有更加广泛的意义。任意取一组参数a1=-4,a2=3,a4=3,a5=-2,a6=-3,a8=4可得

(11)

下图给出了当t=-1时，函数u的一些性质。

将a1=-4,a2=3,a4=3,a5=-2,a6=-3,a8=4和t=-1带入到函数u:(a) 三维图; (b) 投影图。

3 借助Maple求解BKP的Lump解

第一节介绍了利用BT变换和叠加公式求方程Lump 解的方法，这一节将借助Maple程序来求解BKP方程的Lump解。设

f=m2+n2+a9,

m=a1x+a2y+a3t+a4,

n=a5x+a6y+a7t+a8,

(12)

其中aj(1≤j≤9)是参数。

将f代入(2)，直接得到方程f的一组约束性参数

{a1=a1,a2=a2,a3

a5=a5,a6=a6,a7

(13)

此时

为保证函数f的非奇异性，参数需满足a1a6-a2a5≠0和a1a2+a5a6<0。这样函数f中包含了六个参数a1,a2,a4,a5,a6和a8, 在这些参数中,a4和a8是任意常数。满足条件的一组参数就构成了 BKP 方程的正二次函数解，通过与文章第一节求得的 lump 解相比较，不难发现两种方法所求的Lump解是一致的。

4 结束语

文章介绍两种方法求解BKP方程Lump解。一种是利用BT变换和非线性叠加公式，另一种就是借助Maple软件，两种方法求出的Lump解是一致的，并且保证了解的非奇异性。

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