精选习题渐次推进 聚焦目标提升效度——以坐标系中面积探究习题讲评课为例

■沈丽婧

近期笔者有机会听某年轻教师的一节汇报课，教材上并没有相关的课例。该教师针对平面直角坐标系新授课之后，学生家庭作业中出现的一些错误增设出一节习题课，精心选题，归类讲解了在平面直角坐标系中的三角形面积的探究，题型比较丰富，训练量很大，应该说对这类问题的应试辅导是到位的，也是有效的。要想让课堂教学更有品质，各个教学环节之间更有关联，不同例、习题之间更有联系，我们还可以怎样设计与构思呢？带着这些问题，本文将该课的一些主要选题摘抄一部分呈现，并本着教学研讨的目的，重新给出教学设计的简案，抛砖引玉。

一、听课摘录

题型1 如图1所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C（5，5）。求△ABC的面积。

图1

听课记录：学生汇报解题思路之后，教师小结了求这种三角形面积的关键是利用点C的纵坐标为高来计算。

题型2 在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2），C（1，1），则△ABC的面积为________。

听课记录：师生合作画出图形，如图2，过A，B，C三点作坐标轴的平行线，补成四边形CDEF，先分析得出D（1，4），E（4，4），F（4，1），

图2

题型3 已知平面直角坐标系xOy中，直线l经过A（a，0）和B（0，-5）两点，且直线AB与两坐标轴围成的直角三角形的面积为10，求a的值。

听课记录：先构造出草图进行分析，师生互动探讨了A点所在位置（x轴上任意一点），学生最初只考虑了一个解，为了纠错和防控漏解，教师启发学生从绝对值方程的角度来思考，列出绝对值方程·|a|·|-5|=10，解得a=±4。最后，在图形上给出A点两处可能的位置（如图3）。

图3

题型4 在平面直角坐标系xOy中，有4个点A（-6，0），B（-5，2），C（-1，4），D（1，0），顺次连接AB，BC，CD，AD，得到四边形ABCD。求四边形ABCD的面积。

听课记录：有学生先想到将四边形补成一个大的长方形，然后依次减去一些三角形的面积；教师对学生基于“补”形的思考策略表示了肯定，接着提示，是否可以采用“割”的方法呢？于是，有学生提出过点B作BP⊥x轴于点P，过点C作CQ⊥x轴于点Q。直角三角形ABP的面，Rt△CDQ的面积形BPQC的面积=×4×(2+4)=12，所以四边形ABCD的面积=1+4+12=17。这样问题也获得了解决。

听课随感：课中，上述4种题型较好地涵盖了平面直角坐标系中求三角形面积的常考题型，学生训练之后普遍感觉不错，在课堂小结中表示对这类问题都更有信心。在教师随后链接的一些同类训练题中，学生的正确率也较高。应该说这节课的教学还是富有成效的。

二、教学再设计

笔者从平面直角坐标系的概念复习出发，渐次生成系列问题，让各个教学环节融为一体，如中国古代山水画卷一样，缓缓展开。

（一）复习引入

师：同学们，前面我们刚学习了平面直角坐标系，大家会用一个有序数对表示平面内一个点的位置，现在我们来练习一道习题（给学生发的学案上已备好几个平面直角坐标系，教师在黑板上也画好一个直角坐标系备用）。

问题：在平面直角坐标系xOy中，描出A（-2，3），B（2，-2），C（-1，-2），D（3，2），E（-3，0），F（0，-3）。

教学组织：师生合作，复习旧知，得出平面直角坐标系xOy以及6个点，如图4。

图4

师：这节课，我们就围绕这六个点，选取其中两个或多个来研究相关图形的面积。先看问题1：在图4中，连接AO，AE，OE，得到△AEO，怎样求它的面积？

教学组织：学生应该能直接读出这个三角形的面积，教师追问是怎样做的，在追问中学生形成对点A的纵坐标与三角形高之间的关系的认识。

（二）“补形法”求解坐标系中任意三角形的面积

问题2：如图4，连接AO，AD，DO，BD，OB，求△ADO和△BOD的面积。

教学组织：这两个三角形的面积都可以通过补形的方法来求出，将其补成梯形或长方形，然后再减去“周边”三角形，可安排学生上台展示他们的补形与意图。

（三）“分割法”求解坐标系中任意四边形的面积

问题3：如图4，连接AO，AE，CE，OC，求四边形AOCE的面积。

教学组织：学生仍然可以将这个四边形补成一个大的长方形，并逐个减去“周边”三角形。作为多解训练的需要，要启发学生能否将其分割求解呢。学生会想到将这个四边形分割为两个三角形的面积（△AOE，△COE）来求和。

变式问题1：求四边形CDBF的面积。

（四）探究具有特殊位置关系的三角形面积算法

问题4：分析计算△COE，△BOE的面积，你有什么发现？你能解释这种发现吗？

教学组织：学生计算出它们的面积相等后，通过师生互动对话，引导学生发现这两个三角形的底相同（OE），高相等（点B，C的纵坐标相等）。

变式问题2：若另有一点M（m,0），当△AOM的面积为3时，求m的值；

变式问题 3：若另有一点 N（n，-2），当△NCD的面积为6时，求n的值。

教学组织：变式问题主要是坐标中含有一个参数，另一个坐标为常数，学生需要先解读出这样的点在某一直线上，然后再画出草图分析，分类讨论。

三、进一步的思考

在当下的数学教学中，习题讲评课几乎每天都上，作业讲评、周练讲评、阶段检测卷讲评、期中期末卷讲评等，然而多数习题讲评课总是对照习题资料的顺序，一题接着一题往后讲，鲜有针对同类题型或某一种方法或某种解题策略而研发的习题讲评课型，这是值得我们反思和重视的。

（一）习题讲评课的备课要精心选题并同类跟进。

习题讲评课首先要精心选题，针对学生作业过程中出现的普遍、共性问题，选定讲评主题，然后有针对性地挑选相关问题，归类讲解，渐次展开（如上文中后一种教学设计），让学生抬级而上，逐个突破，做一题，会一类，通一片。在讲评之后，还应该进行同类跟进的训练，这样就可有效反馈学生是否真正弄懂、掌握。

（二）习题讲评课应该有目标意识，重视内容效度。

如前所述，当前习题讲评课的一个现状是就题讲题，讲完一题接着讲另一题，题目之间知识点、方法策略等层面往往差别很大，很多时候学生还没有来得及消化前一题，教师又开始讲解下一题了，造成习题讲评的教学效率低下。这种现象的应对策略首先是要让教学“慢”下来，慢下来就是要增强习题教学的课时教学目标意识，想讲评一类习题就要先搜集出同类习题作为题组呈现出来，这样习题课的内容效度就得到了保证，然后再跟进同类训练，习题讲评的效率也就得到了提升。

（作者单位：江苏省苏州市吴江区松陵第一中学）

参考文献

［1］明知白.解题教学重在解题策略和思路的引导与探究［J］.数学通报，2018（1）：50-52.

［2］姚全刚.“说清道明”：数学命题与解题的不懈追求——对“直接写答案”考题的命题商榷［J］.中学数学，2017（9）：52-53.

［3］汤义佳.内容效度：课时例、习题选编的重要指标——以九年级新授课学案的研制为例［J］.中学数学，2017（9）：59-60.

［4］]沈丽婧.聚焦微专题：中考二轮复习的实践与思考——以一组“关联试题”复习为例［J］.中学数学，2017（3下）：36-37.