数学抽象在高中数学教学中的渗透

魏菊

[摘 要] 作为核心素养的重要组成，数学抽象在高中数学中的渗透教育有着非常重要的意义. 文章从教学实践出发，探讨了数学抽象的基本概念和内涵，并结合实例分析了课堂教学渗透数学抽象教育的具体操作.

[关键词] 高中数学；数学抽象；渗透教育

数学抽象是数学核心素养的重要组成，新的课程标准已经将其纳入高中数学的培养目标体系，这就要求我们在教学予以充分关注. 诚然，数学学科赖以发展的基本思想就是抽象，而且数学抽象也正是理性思维产生并发展的基础，它不仅是数学本质特征的反映，更是贯穿于数学学科产生、发展和应用的整个过程. 研究数学抽象，并将其融入我们的数学教学有着非常重要的现实意义.

基本概念界定

数学在本质上就是在研究那些抽象的东西，当然这些东西也是源于人们周边的世界，是被人为抽象出来的.

1. “抽象”的概念

要明确“数学抽象”的含义，我们先要了解“抽象”的含义. 所谓“抽象”，就是对众多事物进行研究，将那些非本质的内容剔除掉，进而提炼抽取出本质性的共同特征. 抽象是一种信息处理方式，其准备工作是对比，没有经过对比就不能发掘事物之间共有的本质特征，因此这些共有的本质特征也就成为某类事物与其他事物进行区分的关键因素. 总之，对研究对象进行深层研究，并进行抽象处理的过程其实就是概括、分离以及提纯的过程.

2. “数学抽象”的概念及作用

从古至今，数学家和哲学家都有着这样的共识：“数学在本质上就是在研究那些抽象的东西.” 而数学层面的抽象还是一种非常特殊的抽象，它体现为，数学抽象所研究的对象是那些数量关系和空间关系，而且这些数量关系和空间关系可能是现实世界的，也可能是思维想象中的，而这些都在我们数学研究的范畴以内.

有关数学抽象的作用，东北师大的史宁中先生认为，真正的知识应该源于人们的感性体验，并通过直观与抽象而形成，而且这种抽象活动无法脱离人的思维活动而存在.

在数学研究中，抽象应该是数学思维的基础，人们只有具备相应的抽象技能，他们才能从感性体验中获知事物的本质性特征，进而将其发展为理性认识. 这不仅是一个知识的获取过程，更是一个研究过程.事实上，这一过程并不局限于数学学科，在其他学科如物理、化学、生物等都有所体现，而且发挥着关键性的作用.

3. 数学抽象的基本阶段

数学抽象有以下三个基本阶段，即简约阶段、符号阶段和普适阶段. 简约阶段是研究者对事物本质进行把握，并将繁杂问题进行简单化和条理化，以便能对其进行清晰表达；符号阶段是研究者将具体的内容去掉，然后用概念、符号、图形来对那些已经简约化的事物进行表征；普适阶段是经过假设和推理之后，有关法则、模型被建立起来，并能对某些具体事物进行解释.

课堂教学渗透数学抽象教育的实践探索

1. 渗透数学抽象教育的基本立足点是概念教学

概念是一切知识的基础所在，数学也不例外，而且数学概念还是数学思维的重要结晶. 学生获得数学概念有两种基本形式：其一是概念的形成，其二是概念的同化. 所谓“概念的形成”，即教师为学生提供一系列具体的例证，然后指导学生从这些事物中提炼出对应的共同属性，进而将其加工为数学概念；所谓“概念的同化”，即教师直接以定义的方式向学生揭示有关概念，在教师的引导下，学生结合自身原有认知结构中的知识对新学概念进行理解. 可以发现，上述两种活动方式中的第一种正是强调学生对数学抽象的一种体验，即让学生通过实际化的抽象操作自主进行数学概念的概括.

高中数学中很多概念的形成都需要学生经历抽象操作来形成，比如导数的概念形成流程如图1所示.

教学过程中，我们通过情境的创设，启发学生结合物理学习中的认识来对情境进行分析，从而实现导数概念的抽象和认识. 这里必须强调的是，瞬时速度属于物理学的知识体系，这是一个具体化的存在，而导数概念则是完全舍弃掉实体性的成分，仅仅着眼于数量上的有关特点，因此具有更加广泛的意义，我们在组织学生对数学概念进行学习时，必须帮助学生对这些处于核心地位的数学概念的形成进行有效而充分的体验. 在实际操作中，我们要从学生生活周边出发，选择他们最熟悉的典型事例，由此创设情境，让学生能够全方位地体验数学抽象的整个过程，进而对数学抽象的整个套路进行熟悉和理解，这样的过程不仅有助于学生学习数学抽象的操作，更能促进学生对概念的理解和巩固.

2. 渗透数学抽象教育需要关注数学思维方法教学

数学抽象是整个数学思维体系的基础，它本身也是一种重要的数学思维方法，将数学抽象渗透在中学数学教育中的价值也主要体现在学生运用数学思维处理问题的过程之中. 因此，数学教师从宏观层面积极关注数学思维方法的教学有助于学生系统化地对数学抽象的方法和原则进行掌握，这也有助于学生数学抽象能力的提升，这必然会促进学生核心素养的发展.

学生数学抽象的技能水平一般体现在他们数学知识的建构过程中，同时也体现在学生数学问题的处理过程之中，教师要不失时机地抓住各种机会对学生的抽象思维能力进行培养，真正做到“过程教育”，并让学生在亲身经历与实际操作的过程中，不断提升数学抽象的能力和技巧. 比如学生在处理某类数学问题时，通过化归的思维将其转变为另外一类问题，由此实现问题的转化，在这一過程中学生透过问题的表面现象，看到其不为人知的另外一面，这正是抽象思维的重要体现.

例题：已知圆的方程为C：（x-3）2+（y-3）2=4和点A（1，1），现有圆上的任意一点M，在MA的延长线上有点N，且满足M，A之间的距离是N，A距离的两倍，求解点N的轨迹方程.

这是一个解析几何的问题，学生处理时要将其转化为向量的问题，然后再通过向量知识的运用，实现问题的轻松解决. 解题思路如下：如图2所示，设点M为（x0，y0），点N为（x，y），则=（1-x0，1-y0），=（x-1，y-1）. 根据条件可得=2，因此有1-x0=2（x-1），1-y0=2（y-1），所以x0=-2x+3，y0=-2y+3；再考虑到点M本身就在圆C上，因此有（x0-3）2+（y0-3）2=4，将上述相关坐标代入该方程，可得点N的轨迹方程为x2+y2=1.

3. 渗透数学抽象教育要彰显数学独有的魅力

教学中，我们要引导学生以数学的目光来研究身边的事物，事实上数学问题就发生在我们的身边，教师在教学中指导学生从生活中选取素材，将数学问题抽象出来，并启发学生进一步揭示具体事物与抽象知识之间的联系，如此则能促进学生对知识的深度理解，同时还能提升他们的问题解决能力.

在数学教学中，教师要有意识地培养和保护学生的直觉思维，为此我们可以从数学发展史中搜集一些经典的数学抽象故事，将其呈现在课堂上，从而彰显数学生动而智慧的魅力. 比如哥尼斯堡的七桥问题，牛顿与莱布尼茨的微积分发明权之争，笛卡尔与坐标系等等，我们将数学家进行数学抽象的事例展示出来，通过故事让学生深切感受到数学抽象正是数学的优势和长处，由此抽象将不再是学生畏惧数学的原因，它将逐渐演变为数学独特的美感，这在一定程度上也将改变数学枯燥、乏味、难学的表面现象，让学生真正爱上数学抽象，爱上数学.

作为数学核心素养的重要组成，数学抽象是一种文化素养，有关它的教育同时也是一种文化教育. 数学抽象能力的养成并非是一朝一夕即可实现，这需要广大同仁在教学中充分的重视以及持之以恒的坚持，因此我们在教学中要让学生感受到数学不仅有着一系列抽象知识，更蕴含着丰富的方法、文化与思想，甚至还包含精神与态度，这些都需要学生用心来感受和体验.