借助有效点拨引导数学思维

2018-05-21 09:16杨会志
数学教学通讯·高中版 2018年3期
关键词:高中数学核心素养

杨会志

[摘 要] 数学思维是高中学生数学学习的核心,也是数学教学的重要内容. 而对于学生来说,在高中数学学习过程中必定会遇到困难,因而就需要教师的有效点拨,在学生的学习过程中观察“愤悱”的出现,是教师进行点拨的良机,此过程中要强调思维引导的有序性. 对学生思维能力是否形成,可从知识的应用与思维的迁移两个角度来判断. 在核心素养视角下研究教师的有效点拨,是一个新的研究方向.

[关键词] 高中数学;有效点拨;引导思维;核心素养

高中数学教学中,学生的思维越来越受到重视,如果说传统数学教学对学生思维的重视还体现在解题过程中的话,那么今天对数学思维的重视应该在数学知识构建的过程上,也体现在学生利用数学知识解决实际问题上. 应当说,在不同的过程中学生的思维还是有所不同的,这种不同不是思维形式的不同,而是思维在不同的情境作用之下发挥的机制不同. 这给数学教学带来了新的挑战,思维能力的培养是不可以一劳永逸的,可循的固定规律是少有的. 因此,试图借助于某几个场合或某几次思维的训练,来让学生在整个高中数学学习过程变得顺利是不大可能实现的. 也因此,数学教师更应当建立“现象学”的认识,在不同的情境中通过切切实实的努力,为學生的思维奠基. 考虑到“教”之于学生“学”的作用,考虑到数学学习中数学思维点拨主导地位,本文试从“有效点拨”的角度谈谈如何有效引导学生的数学思维.

愤悱处启发,体现点拨的有效性

点拨是启发的代名词,点拨学生实际上就是在学生的思维遇到困难的时候给学生以启发. 即使课程改革推进至今,在高中数学课堂上也常常看到一种情况,那就是教师往往有一种“迫不及待”的点拨学生的心理,这里固然有所谓的课堂容量的问题,其实也有教师内心一种忽视学生学习心理的可能. 古人云“不愤不启,不悱不发”,强调的恰恰是点拨时机的把握,数学教师不可忽视这一基本技能. 例如2013高考江苏卷第18题,如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4. 设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

此题是一道综合性较强的试题,考查了点到直线的距离公式以及圆与圆的位置关系的判定. 试题解析如下:第一步,设M(x,y),由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到方程为x2+(y+1)2=4. 即得点M的轨迹为以(0,-1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.第二步,由M在圆C上,得到圆C与圆D相交或相切. 第三步,根据两圆的半径长,得出两圆心间距离的范围,利用两点间的距离公式列出不等式. 第四步,求出不等式的解集,即可得到a的范围.

在这四个步骤中,学生理解哪一步是最困难的?根据一般的经验,应当是第一、二两步. 这两步难(亦即学生思维的困难)在哪里呢?在实际教学中,如果学生第一次解此类问题,学生的思维难点在于不知道根据题目所提供的MA=2MO这一信息来建立方程,从而不知道转化为圆与圆的位置关系问题. 这个时候,教师不要急于告诉学生应当怎么做,而是应当让学生先自主思考,再小组合作讨论. 教师在学生自主思考与讨论的过程中,要关注学生的思维. 笔者在观察学生在草稿纸上涂改的痕迹时,在倾听学生在小组中的讨论时,发现学生的思维大体具有这样的共同点:一是“圆C上存在点M,使MA=2MO”意味着什么?MA=2MO这个条件很多学生看不懂,不认识这就容易出现“愤悱”的情形;二是理解了MA=2MO建立出等量关系,而不知与圆C上存在点M有什么联系,“存在”是何意?在这也是“愤悱”的情形.

新课改中教师的作用不是淡化了,而是更加重要了. 教师是教学过程的主导者,必须正视自身的存在,而且必须合理把握自身的角色. 在教学中抓住这个机会去点拨学生,如同触碰到学生的痒痒处,就会起到激活学生思维的作用.

实践中引导,强调过程的有序性

引导学生的数学思维,并不是简单地告诉学生怎样做,因为那样实际上剥夺了学生的思维的机会. 思维贵在引导,而引导又贵在过程的有序性!所谓数学思维的有序性,是指学生的思维表现出的逻辑特征. 如果学生在思维的过程中逻辑不清晰,那就认为逻辑是无序的,也就说明教师的“点拨”需要进一步优化.

如在上面学生的两处“愤悱”之时,笔者通过苏教版数学必修2第112页习题2.2第12题进行引导,第一步,解决如下例题:已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为,那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点M所构成的曲线. 解析如下:设M(x,y)是曲线上的任意点,结合两点间距离公式列出距离的比关系式,整理后得到方程为(x+1)2+y2=4.即得动点轨迹为以(-1,0)为圆心,2为半径的圆,做出图形即可.这类关于某动点到两个定点的距离之比为定值的问题是课本上的典型习题,我们常用直接法求出动点的轨迹(阿波罗尼斯圆问题),此题是上述高考题的原型,以此题铺垫引导,会大大减轻学生的思维困难. 第二步,基于上述分析构建一个“动画”,几何画板演示M的轨迹. 第三步,给学生进一步点拨——动点分别在两个圆上运动. 于是,关于a的不等式就呼之欲出了.

在笔者看来,这样的三步点拨最大的价值不仅在于给了学生一个思路,更在于给了学生一个清晰的思维步骤,让学生知道每一步之间是如何衔接的,是如何一步步完成问题的解决的. 这就是思维过程的有序性. 思维引导的有序性在实际教学中可以根据学生的学习感觉来判断,如果学生理解问题、解决步骤比较顺利,那么学生听起来必然不吃力——此时学生的表情应当与点拨之前的“愤悱”有明显的区别:愤悱之时如同打仗突围时左冲右突但却无法有效突破一般,而在有序的思维引导之下则如同突围之时撕开了一道口子顺利突围一般.

但是有一点需要注意,那就是数学思维引导的有序性,固然要强调学生“听得舒服”,但是要防止只是“听得舒服”. 因为多年的教学经验表明,听得懂未必是真的懂,能够有效输出(传统教学思路中强调让学生说出来、做出来,课程改革强调的课堂展示都是这个思想)才是衡量有没有真的听懂的关键. 但是有一点可以肯定的是,在此前有了愤悱的心境,再加上随后的有序引导,学生的数学思维一定是有所发展的.

能力之形成,注重知识的应用性

在数学课堂上进行有效的点拨,目的是瞄准数学思维的培养,这个起点与终点之间的关系是明确的. 但这个目标的达成或者说终点的达成与否,是需要教师在教学中认真判断的. 如何判断学生的能力是否达成?应用是一个重要思路(这与上面强调的知识的输出原理是一样的).

应用有两层含义:一是解决数学习题;二是解决数学问题. 前者高中数学教学中已经有了大量研究,此文不赘述. 谈到数学问题,其与数学习题的区别在于其往往具有生活因素,因而在建立数学模型以解决这些问题的时候,需要进行有效的数学抽象,而数学抽象就是一个数学思维含量很高的过程,这个过程中学生也常常会遇到难以解决的问题,需要教师适时进行点拨,因此学生的思维培养的过程便蕴含其中. 再例如:

1. 已知圆O:x2+y2=9,点B(-5,0),在直线OB上,是否存在定点A(不同于点B),满足对于圆O上任意一点P,都有,试求所有满足条件的点A的坐标.

2. 已知圆O:x2+y2=9,点B(-5,0),在直线OB上,是否存在定点A(不同于点B),满足对于圆O上任意一点P,都有为一常数?若存在,求所有满足条件的点A的坐标,并求;若不存在,说明理由.

这两题实际上是原问题的变式,学生的解题思路可以由原问题的解决过程得到一种隐性的指导,同时变式的提供本身又是一次新的应用机会.

这种应用过程的最大价值在于发挥原有例题的隐性点拨作用(当然对于部分学生而言,还需要教师再次进行显性的点拨,这也是教学中的常规情形,只是需要教师考虑是不是需要一种新的点拨思路,在此不赘述),在于让学生在新的情境中进一步让思维变得清晰与熟练,这也是衡量能力形成的另一个标志,尤其是面对高考的需要,这种能力形成是必需的.

素养之培育,关注思维的迁移性

核心素养是当下的一个热门话题,从数学核心素养的角度来看,数学教学过程中的点拨及其作用之下学生的数学思维发展,笔者以为需要建立一个新的维度来关注学生的思维,这个维度就是思维的迁移性.

所谓思维的迁移性,就是数学思维在非纯粹数学情境中的运用. 当前的数学学习评价中,这种迁移性的评价是不明显的,但数学学习的一个重要目的,就是让学生以数学思维去观察、判断身边的事物,这些事物的数学特征有時并不那么明显,学生在数学学习中形成的思维是否能够有效地帮他们对这些事物形成客观、有效的判断,值得数学教师去研究. 而数学核心素养所强调的数学在“与现实生活相关联的特定情境中的运用”,就是对思维迁移性最好的引导性思路. 在思维的迁移性研究中,教师的点拨肯定要发挥一定的作用,这个作用在何时发挥,应当发挥到什么程度,笔者以为这是一个新的研究方向,需要一线教师做出不懈的努力.

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