突出函数之间联系，综合考查学生能力——关于考查函数知识的中考题析解

☉山东省胶州第八中学 刘乃志

函数是刻画变量之间相互依赖关系的数学模型，是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）界定的“数与代数”领域中的数学概念之一，是代数的“纽带”.这部分的主要内容有：对函数的有关认识、一次函数（含正比例函数）、反比例函数及二次函数的图像与性质，利用函数的有关知识解决实际问题等.

各地的中考题中对于函数知识的考题都占有较大的比例.下面从2017年各地的中考数学试卷中，选择部分典型例题进行析解.

一、只考查某一种函数的性质

初中阶段学生只学习三种函数：一次函数、二次函数和反比例函数.有关这三种函数的概念、表示方法、性质、图像等知识都是《课标（2011年版）》强调的基础知识，中考题中经常出一些考查某一种函数的题目，这样的题目属于“送分题”，考查形式可以选择题、填空题、解答题.

例1（山东泰安）已知一次函数y＝kx-m-2x的图像与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）.

A.k＜2，m＞0 B.k＜2，m＜0 C.k＞2，m＞0 D.k＜0，m＜0

解析：本题主要考查一次函数的性质，是所有学生都能够自主解答的题目.由一次函数y＝kx-m-2x的图像与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k-2＜0、-m＜0，解得k＜2，m＞0.故选A.

例2（贵州黔东南）如图1，已知点A，B分别在

图1

段OB的中点，则k的值为________.

解析：本题主要考查学生对反比例函数图像上点的坐标特点的理解情况.设A（a，b），则B（2a，2b），把点A的

例3（湖北荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k＝0，其中k为常数.

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数y＝x2+（k-5）x+1-k的图像不经过第三象限，求k的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.

分析：（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明.（2）由于二次函数y＝x2+（k-5）x+1-k的图像不经过第三象限，又△＝（k-5）2-4（1-k）＝（k-3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解.（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值.

解：（1）证明：因为△＝（k-5）2-4（1-k）＝k2-6k+21＝（k-3）2+12＞0，

所以无论k为何值，方程总有两个不相等实数根.

（2）因为二次函数y＝x2+（k-5）x+1-k的图像不经过第三象限，二次项系数a＝1，所以抛物线开口方向向上.

因为Δ＝（k-3）2+12＞0，

所以抛物线与x轴有两个交点.

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，

则k的最大整数值为2.

点评：二次函数与一元二次方程有密切的关系，当二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，就成为一元二次方程ax2+bx+c=0，反映在图像上时，y=ax2+bx+c与x轴的两个交点所对应的数值就是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解，这是学生学习的一个难点，也是中考的考点之一.本题就从这个联系点入手，考查的知识点主要有：一元二次方程根的判别式；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数的性质等.

教学中结合具体的课程内容，精心设计问题，引导学生学习《课标（2011年版）》提出的“四基”.通过系列活动，让学生掌握扎实的数学基础知识，形成基本技能，感悟基本思想，不断积累基本的数学活动经验，这样学生就能具有基本的数学素养，有了这样的素养，不仅能在各种考试中获取一个理想的分数，而且能在继续学习中发挥优势，不断提高自己的数学核心素养.

二、同时考查两种函数的性质

这三种函数的知识相互结合，形成所谓的“综合题”，主要是以某两种函数相结合的形式出现，目的是考查学生综合运用函数的有关知识解决问题的能力.

1.一次函数与二次函数相结合

图2

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式.

（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P，N.

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.

从而得到抛物线的解析式.（2）根据MN⊥x轴和M（m，0）可得N点的坐标.①分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况求M的坐标.②分N分别为PM，NM，PN的中点三种情况求m的值.

因为在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN，∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP=90°.

分两种情况讨论如下：

（ⅰ）当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

点评：本题是一次函数与二次函数相结合的综合题.考查的主要知识有一次函数，二次函数的性质，三角形相似的判定与性质，一元二次方程的解法等.由于动点的“参入”使得题目的难度增大.所以这是一道关于动态几何的函数综合压轴题.动态几何的函数综合压轴题已成为中考命题的热点.解决此类问题的一般思路是化动为静，找出图形变化中不变的量和等量关系，构建相应的模型（本题是建立相似模型和方程模型），从而达到解答的最终目标.这样的题目对于考查学生的阅读理解能力，综合分析与判断能力都是非常有益的.从数学思想的高度看，本题主要涉及数形结合的思想和分类讨论的思想.

2.一次函数与反比例函数相结合

例5（重庆卷）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图像与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=，点A的纵坐标为4.

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连接MC，求四边形MBOC的面积.

分析：（1）根据题意可得B的坐标，从而可求得反比例函数的解析式，进行求得点A的坐标，从而可求得一次函数的解析式；（2）根据（1）中的函数关系式可以求得点C，点M，点B，点O的坐标，从而可求得四边形MBOC的面积.

解：（1）由题意可得，BM=OM，所以BM=OM=2，所以点B的坐标为（-2，-2）.

设反比例函数的解析式为，得k=4，所以反比例函数的解析式为

因为点A的纵坐标是4，所以，得x=1，

所以点A的坐标为（1，4）.

因为一次函数y=mx+n（m≠0）的图像过点A（1，4），点B（-2，-2），

（2）因为y=2x+2与y轴交与点C，所以点C的坐标为（0，2），

图3

因为点B（-2，-2），点M（-2，0），点O（0，0），

所以OM=2，OC=2，MB=2，

点评：本题是一次函数与反比例函数相结合的问题.第一问求反比例函数与一次函数的解析式是考察函数知识常见的题型，求解析式的“通法”就是用待定系数法确定出未知的系数，为此，往往需要建立方程或方程组模型，所以考察函数问题时常与方程的知识融合在一起.第二问求四边形的面积是函数与几何相结合的典型问题.这样的考题形式多样，例如，有的题目告诉我们某个图形的顶点在某种函数图像上，或是某两个函数图像的交点，让同学们求图形的面积问题或探究图形的形状.

2.3 反比例函数与二次函数相结合

例6（河北）如图4，若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=的图像是（ ）.

图4

解析：仔细观察图4可以发现在封闭区域内的整数点分别是（-1，1），（1，1），（0，1），（0，2），故k=4.根据反比例函数的性质，发现A，B，C，D中符合xy=4的只有D.故选D.

点评：本题是二次函数与反比例函数相结合的题目.首先要求学生通过观察二次函数y=-x2+3与x轴所围成的封闭区域，得到整点的个数，然后根据反比例函数的性质得到反比例函数的图像为D.

三、同时考查三种函数的性质

例7（福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b.

（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）.

（2）说明直线与抛物线有两个交点.

（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.

①若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；

②求△QMN面积的最小值.

分析：（1）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解

（2）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.由y=2x-2，y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，由根的判别式可得该方程有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.

（2）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，所以△=（a-2）2-4a（-2a+2）=9a2-12a+4.由（1）知b=-2a，又a＜b，所以a＜0，b＞0，所以△＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点.

（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

图5

且由（2）知，a＜0，

即27a2+（8S-54）a+24=0.

因为这个关于a的方程有实数根，

所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，

函数”有机结合在一起的综合性题目.解答的过程中体现了数形结合、方程与函数等重要的数学思想.

这就要求我们在教学时不要孤立知识，要把知识放在与其他知识相关的结构中进行，特别是数学复习时，一定要通过知识的梳理来优化学生的知识结构，只有这样的知识结构才具有迁移性和创新性.同时要向学生渗透常见的数学思想与方法.培养学生勤于思考、善于思考的良好习惯，遇到综合性的问题时能冷静思考、认真分析、科学判断、准确解答，从而取得好的成绩，不断提高和发展学生的综合能力.H