重视图形积累 提炼特殊图形

☉江苏省苏州工业园区第十中学 房琳颖

数学几何是中学较为重要的一门学科，学生在求解较为复杂的图形时往往会陷入思维的停滞，无法找到合理的解题思路，造成该种情形的主要原因是难于从复杂的图形中分解提炼出特殊图形，不能借助特殊图形的特殊性质来分析问题，从而打开解题的思路，特殊图形的提炼存在一定的技巧性，下面将详细讲解.

一、分析几何关系，提炼特殊图形

利用特殊图形的特殊性质可以为推理提供重要的理论依据，对于简单的问题图形，可以直接从原图中提取，即采用直接提炼的方式.提炼时，首先可以根据已知条件推导一些与图形边、角相关的结论，然后综合分析结论，由定理联想图形，将图式中的关键图形提取出来.

y轴相交于点A，C，直线l2过点B（-2，0）与直线l1相交于y轴上的同一点C，而动点P以每秒一个单位长度的速度由点B向点A移动，动点Q以每秒两个单位长度的速度由点A向点C移动.

图1

图2

（1）试求直线l2的解析式；

（2）试证明：线段BC上存在一点E，使得∠PEQ=∠B.

分析：（1）略.（2）求证BC上存在一点E，使得∠PEQ=∠B，可以假设结论成立来逆推线段BE的长度来证明.根据已知的边和角，结合从原图中提炼的图形，如图2，可以发现存在一组特殊关系的特殊图形，△BPE与△CEQ相似，根据相似的性质可以建立关于BE长度的关系式，对关系式的代数分析即可证明BE是否存在.

解：（1）点C（0，4），B（-2，0），则直线l2的解析式为y=2x+4.

（2）证明：由直线l1的解析式可得点A（3，0），C（0，4），则AB=AC=5，∠ABC=∠ACB，假设∠PEQ=∠B成立，则可得一组相似的特殊图形：△BPE～△CEQ.设BE=m，BP=

点评：上述问题图形中存在一组相似的特殊图形，其相似的对应边关系是实现后续推理的关键，提取的方式也较为简单直接，结合已知条件探求相似三角形角的性质即可实现，在平时的学习中积累特殊图形的特殊性质是实现图形准确提取的基础，如总结相似三角形、等腰三角形、直角三角形的边角特征，建立定理与图形之间的联系.

二、添加辅助线，构造特殊图形

而对于一些复杂问题，仅综合考虑问题的条件和结论难以直接提取，则需要在对图式进行分析、抽象时，尝试通过添加辅助线的方式来构造特殊图形.该种情形分析图形时，则不能将思维停留在图式局部，需要从整体上来考虑.

例2 如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E位于BC边上，且∠DAE=45°，试证明BD2+EC2=DE2.

图3

图4

分析：证明BD2+EC2=DE2，联想到直角三角形中的勾股定理，可以将其放到直角三角形中来证明，则可以依托边EC来构造直角三角形，通过已知条件建立其边长与结论中边的关系来解决.

证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连接ED′，如图4.

由△ACD′≅△ABD的性质可得CD′=BD，AD′=AD.

则△ADE≅△AD′E，所以DE=D′E.

在Rt△ABC中，AB=AC，则，∠ABC=∠ACB=45°，可得∠D′CE=90°，则△CED′是直角三角形，根据勾股定理可得CD′2+EC2=ED′2，由DE=D′E，CD′=BD可证BD2+EC2=DE2.

点评：上述解题过程从结论入手，通过旋转和添加辅助线的方式构造了全等三角形和直角三角形，通过图形的性质建立了边的关系，完成了结论证明.其中涉及到全等三角形、等腰三角形等特殊图形，正是利用这些图形的特殊性质才实现了问题的解答，辅助线的添加对于图形的提炼有着重要的作用.

三、真实事物抽象，转化特殊图形

从实际生活事物中抽象特殊图形是一种较为特殊的图形提炼方式，该种方式具有一定的复杂性，不仅需要保证图形的整体情况相一致，还需要对图形中的尺寸做出准确地标定.在图形抽象过程中应尽量向三角形、正方形、圆以及扇形靠近，力求合理利用这些图形的性质来求解.

四、进一步的思考

1.充分认识图形，关联特殊性质

充分认识特殊图形是用好特殊图形的基础，对于特殊图形的认识需要分三种情形来记忆，一类是最为基础的等腰三角形、直角三角形、等边三角形等；二类是具有特殊关系的图形，如全等三角形、相似三角形等；第三类则是具有典型性的图形，如对称图形、由一类图形组合而来的复杂图形.其次，对于特殊图形需要从定理角度来认识，如等角对等边、直角三角形的勾股定理、相似三角形的边长关系等，往往特殊图形之间有着性质上的特殊，建立定理与图形之间的相互关联，形成特定的几何思维对于图形认识有着重要意义.

2.重视图形积累，形成特殊意识

数学的学习过程本身就是不断积累、巩固、强化知识经验的过程，对于提炼特殊图形同样适用，不仅需要积累图形提取的方式，如上述讲解的直接提炼、添加辅助线和生活事物抽象，还需要对特殊图形的特征进行积累，促进特殊意识的形成，包括图形的特殊数值、特殊角度和特殊关系.在平时的积累中需要有意识地将其归纳出来，只有这样，遇到新问题时才能产生充分的联想，这也是模式化解题的一般思路，合理利用往往可以取得较好的解题效果.

3.感悟特殊图形，上升理论高度

将对于特殊图形的认识上升到理论高度是提升解题能力的关键，特殊图形的提取过程有时需要利用建模思想，构建理论本身就是一种较为重要的实践理论，通过对图形的深入分析和综合考虑，在辅助技巧的结合下将其构建成特殊的图形，这就是构建理论的指导思想，图形构建的过程需要对问题全面考虑，因此对学生的思维能力有一定的要求.另外，图式理论也是图形利用的重要理论，图式是几何个体本身所具有的结构特征，对于学生认识图形本质，发挥几何作用有着重要的意义，感悟图形时，可以将与问题相关联的图式单独提取出来，便于问题的解答.

五、写在最后

总之，分析几何关系、添加辅助线、真实事物抽象是提取特殊图形较为重要的方法，合理利用特殊图形的边、角特性，结合定理推论可实现问题的高效解答，因而图形提取的效果往往决定着解题的效率.利用特殊图形解题，首先需要充分认识图形，建立图形与性质间的相互关联；其次需要重视对于特殊图形的积累，逐步形成解题的特殊意识；然后对特殊图形加以感悟，将其上升到指导解题的理论高度，从实践的角度学习理论思想.

参考文献：

1.曹文喜.感悟基本图形 提升解题能力［J］.中学数学（下），2017（4）.

2.朱崇林.深刻理解补全图形，训练眼力发现特殊——以2017年江苏常州卷第28题为例［J］.中学数学（下），2017（10）.

3.李景财，冉瑞洪.联想基本图形 解法自然生成［J］.中学数学教学参考，2017（11）.

［4］王健，张青云.借助基本图形 凸显“点睛”路径［J］.中学数学教学参考，2017（29）.