功的公式细辨析

牛溪坡

(蠡县第二中学 河北 保定 071400)

前几天在我们的物理课上围绕一道题出现了一场激烈的争论，题目如下.

【例1】如图1所示，自动扶梯以恒定的速度v1运转，运送人员上楼．一个人第一次站到扶梯上后相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼的过程中对他做功为W1，做功功率为P1，第二次这人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度v2同时匀速上走．这次扶梯对人做功为W2，做功功率为P2．以下说法中正确的是

A．W1>W2，P1>P2B．W1>W2，P1=P2

C．W1=W2，P2>P1D．W1=W2，P1=P2

图1 例1题图

这两种观点貌似都非常有道理，但哪种正确呢？

笔者通过多方查找资料以及向老师请教，发现解决这个问题的关键在于对功的公式W=Fl的理解上．公式中的l应该是受力的质点沿着力方向的分位移．我们应该从以下4个方面来理解.

1 l是受力的质点的位移

l是受力的质点的位移，与物体重心的位移没有必然的关系.

【例2】如图2所示，某人以恒力F=10 N 拉车，使车前进 5 m，人做的功是多少？

解析：受力的质点是绳子的一端，W=Fl中的l在这里应该是绳子受力的那个点拉过去的绳长l=10 m，而不是车的位移5 m，因此

术后给予心电、血氧监护及对症支持治疗。术后5 d拔除负压引流管，14 d在颈胸支具保护下下床活动。分别于术后第1天、术后3个月和术后24个月复查全脊柱正侧位X线片（图1h ～ m），提示内固定位置良好，术后各随访时间点Cobb角基本无变化（分别为37°、37°、39°）。术后3个月复查颈椎CT三维重建，示后路植骨融合良好（图1n，o），随访过程中无感觉运动异常及其他并发症发生。

W=Fl=10 N×10 m=100 J

同样的道理，人从地面上缓慢站起的过程中，受到地面的支持力，虽然人的重心上升了一段距离，有位移，但受力的质点在脚底，没有位移，因此支持力不做功．

图2 例2题图

2 l是沿着力的方向上的分位移

l是沿着力的方向上的分位移，即W=Flcosθ,θ是力和位移的夹角

【例3】如图3所示，一物体质量为m从倾角为θ长为L的光滑斜面顶端滑下，问物体到达斜面底端的速度为多少？

解析:这道题用动能定理来解．合外力的功在本题中是重力的功，位移应该是沿着重力方向的分位移，也就是竖直分位移，即h=Lsinθ,因此

解得

图3 例3题图

3 Fcos θ是沿着位移方向的分力

Fcosθ是沿着位移方向的分力，即求功也可以分解力，用沿着位移方向的分力Fcosθ乘以位移l.

【例4】如图4所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1，W2，图中AB=BC，则一定有( )

A.W1>W2B.W1

图4 例4题图

解析:如图5所示，力F的竖直分力Fy=Fcosθ，Fx1=Fcosθ1，Fx2=Fcosθ2，由图中可知，θ1<θ2，因此W1>W2，选项A正确．

图5 力的分解

4 l是受力的作用点在受力时的位移

我们先来分析一下人在走路时摩擦力做不做功的问题．我们在走路时会受到地面的静摩擦力的作用，虽然人在不断地前进，人的重心有位移，但那是在空中迈步的那只脚有位移，在地面的那只脚受到地面的静摩擦力，当时并没有位移，是后来抬起后不受地面的摩擦力时才有位移．因此，受力的质点在受力时没有位移，我们在走路时静摩擦力不做功．

然后回到本文开头时的题目．两次人都是匀速上楼，都是受到重力、支持力二力平衡，但是第一次的位移应该是人的竖直分位移h,而第二次情况就不一样了，比如左脚站在扶梯上，随着扶梯一起上升，有一个竖直分位移h1,但右脚同时在向上迈步，也有一个竖直分位移h2,支持力做的功等于支持力乘以受力的质点在受力时的位移，即左脚的竖直分位移h1，而不是人重心的竖直分位移h1+h2，因此第二次扶梯做的功W=Fh′，但h′小于人重心的位移h,而第一次扶梯做功W1=Fh，h时人重心的位移，所以W1>W2．

同样的道理，P=Fv中的v也是受力的质点的速度，因此两次扶梯做功的功率都是P=mgv1,第二次的功率与人相对扶梯的速度v2无关，即P1=P2，选项B正确，选项C错误．

我们再来分析一下例4，此题中受力的质点是绳子的一端，拉力F沿绳子的方向，因此W=Fl中的l应该是拉过去的绳长，而不是物体的位移，设两次拉过去的绳长分别是L1，L2，LAO，LBO，LC O分别是绳AO，绳BO，绳CO的长度，W1=FL1，W2=FL2，L1=LAO-LBO，L2=LBO-LC O，如图6所示，关于L1和L2的大小，用圆规在原图中卡一下，很容易就可以发现L1>L2，因此，W1>W2．

图6 例4分析图

5 结束语

我们平时在学习的过程中要多思多想，多归纳多总结，把基本概念和基本公式弄懂弄通，这样做起题来才会又对又快，举一反三．

参 考 文 献

1 人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中物理课程标准实验教科书.北京：人民教育出版社，2015.57～61，71～73

2 许嘉璐.中国中学教学百科全书(物理卷).沈阳:沈阳出版社，1990.32