小球离开墙面问题探析

魏明逊

(昆明第三中学 云南 昆明 650500)

刘春生 杜雷鸣

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

1 提出问题

D．杆与小球A和B组成的系统机械能守恒

图1 题图

根据系统机械能守恒得

由于杆不可伸缩，故两球沿杆子方向上的速度相等，则有

vAcos60°=vBcos30°

联立两式解得

对A球应用动能定理

得

故C,D正确．

2 解决问题

解法一：利用质心运动定理，得到离开墙面的条件就是A，B小球组成的系统的质心向右的加速度为零．建立如图2所示的坐标系，C为系统的质心．

图2 建立坐标系

对上式进行时间求导，当水平速度为最大值时，小球脱离墙面．

ω为相对于A球的角速度即刚体的角速度，由于刚体相对自身任何一点的角速度都相等，因此ω也是A，B球相对系统质心的角速度．

根据机械能守恒

(1)

质心的位矢为

将上式中的rC对时间求导．可得质心运动的速度为

把质心的速度分别向x轴和y轴投影，得

vA=2vCyvB=2vCx

(2)

将式(2)代入式(1)得

(3)

如果脱离，vCx存在极值即

可解得

解法二：根据机械能守恒

(4)

A，B小球沿杠方向投影的速度相等即

vAcosθ=vBsinθ

(5)

代入式(4)可得

(6)

令

y2=cos2θ(1-cosθ)

y2=cosθcosθ(1-cosθ)=

利用均值不等式

求解极值

cosθcosθ(2-2cosθ)≤

(7)

(8)

因此当

cosθ=cosθ=2-2cosθ

即

时小球脱离墙面．

解法二在高一物理相关章节的教学中学生利用已有的知识储备就可以求解．

3 深入探讨

3.1 当mA≠mB，杆仍然为轻杆

解法一：

令

根据机械能守恒

令u=cosθ

解法二：换一种求解的方法让学生学会从不同的角度看问题．

(9)

如图2的几何约束为

(10)

对式(10)求导得

2vAyA+2vBxB=0

令

代入式(9)可得

(11)

n的限制条件与解法一所得的结论是相同的．

3.2 当mA=mB=m杆=m，杆的质量分布均匀

这个系统的动能包括质心的动能和绕质心的转动动能，下降过程质心的势能变化3mΔyC．

根据机械能守恒

(12)

系统的转动惯量

(13)

将式(13)代入式(12)得

化简得到

代入

可得

(14)

令

u=cosθ

3.3 当mA=mB=m，m杆=m1，杆的质量分布均匀

根据机械能守恒