强化思维主线，在类比中学习因式分解

谢丽英

摘 要：因式分解是数学恒等变形中的重要手段，在数学及其后续学习中具有重要的地位。因式分解实际上是乘法运算的一个逆过程，因此，其对思维能力培养的要求比较高。本文立足于自身课堂实践，以强化思维培养为主线，通过类比思维来学习因式分解，实现了较好的教学目的。

关键词：思维主线；回顾；类比；拓展；反思

有人说，因式分解可以难倒数学家。的确如此，特别在因式分解过程中对于方法与结果都难以把握的情况下更是如此。如何化难为易，帮助学生掌握因式分解的方法呢？结合自身课堂实践，笔者主要通过强化思维主线，在类比中学习因式分解，达到了较好的学习目标。

1.思考与回顾

通过复习与回顾乘法运算，有助于学生明晰学习方向，实现思维的迁移与类比，为后续学习打下坚实的基础。

1.1复习乘法公式，新知是建立在原有的旧的知识基础之上的，因此，教学一开始我就复习整式乘法及其公式。通过提问，得出整式乘法是几个整式的乘积。整式的乘法可分为单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种形式。在此基础上回顾乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法。

1.2创设课堂情境，接下来我和学生一起做一个数学游戏，游戏规则是：

①大家说出一个大于1的正整数；②写出它的立方减去它本身的代数式，如：43-4；③不通过计算，说出这个代数式能被哪些正整数整除。你能做到吗？

启发学生思考：游戏好玩吗？游戏的关键是什么？你知道993-99能被100整除吗？你是怎么做的？

1.3因数分解探究，通过993-99的特例探究，让学生建立因数分解的初步概念，为后续因式分解学习类比思维奠定基础。围绕993-99能被100整除吗？学生发现：

993-99=99×992-99×1=99（992-1）=99×9800=98×99×100

所以，993-99能被100整除。

至此，我趁热打铁追问，你们能说出每一步变形的依据吗？首先，大家发现两个减数都有99，就想着可以提一个99出来，992-1是一个平方差公式。其次，判断993-99能否被100整除时，运用了平方差公式的逆过程。最后，我们变成几个数的乘积，就可以看出能被哪些数整除了。很好的总结了大家的思考过程与思路。接下来，我进一步要求学生探究：993-99还能被哪些正整数整除？生1回答，很显然可以被98，99，100整除呀！生2说：我觉得还应该是被2，49，98，3，9，99，11，4，25，100整除。我肯定了他们的想法。并且对生2提出了表扬与鼓励。这样，通过数学游戏，激起学生探究的欲望，并且体会到把数式化成几个数的积的形式是解决这类问题的关键，从而为引出因式分解的概念奠定基础。

2.类比出新知

实践探究交流新知。上面，我们把993-99化成了几个数的乘积的形式，从而知道了它能够被哪些整数整除。那么，你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？通过与同伴交流得出：

然后，总结得出：像这样把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解.我们这一章仅限于在有理数范围内、整式范畴内的因式分解。

请同学们观察这些等式：a3-a=a（a+1）（a-1），ma+mb+mc=m（a+b+c），x2+2x+1=（x+1）2。

同样可以发现：等式的左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，水到渠成的强化了因式分解的概念。

最后，通过对公式ma+mb+mc=m（a+b+c）利用三个长方形

拼图前后面积不变的方式，丰富学生对因式分解的理解，形象地说明因式分解是整式的恒等变形。这有助于发展学生的几何直观思维，对学生的思维发展具有实际价值。

3.拓展提升

通过两种变形过程的強化训练，让学生在探究的基础上得出：整式乘法和因式分解是一个互逆运算；因式分解是否正确可以用整式乘法来检验。基础训练方面，我通过四个乘法运算后，马上利用这四个运算过程要求学生把结果进行因式分解。只要对因式分解与乘法运算互逆关系明确的同学，都可以秒杀结果，强化了对它们互逆关系的认识。然后，我通过以下三个问题拓展提升学生的思维。

3.1构造长方形的面积求和，解释a2+2ab=a（a+2b）。

这道题题目形式新颖、直观，学生进行交流.动手画，让有疑问的同学，在小组中交流。本题以拼图前后面积不变的方式，进一步丰富学生对因式分解的理解，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，有助于发展学生的几何直观思维，对学生的思维发展具有实际价值。关注的是代数思维与几何思维的互相促进，以几何直观来解释因式分解的意义，从另一个角度理解因式分解。

3.2多项式x2-4x+m可以分解为（x+3）（x-7），则m= 。

进一步强化逆向思维，学生可以通过右边的乘法运算迅速得出m=-21。

3.3分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解结果是（x+6）（x-1），乙看错了b的值，分解结果为（x-2）（x+1），求a，b的值。

通过这些练习，进一步强化学生思维，明确：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。掌握：整式乘法和因式分解是一个互逆运算，因式分解是否正确可以用整式乘法来检验。通过练习进一步提升了学生应用知识的能力，拓展了其思维能力。

4、教学反思

4.1授课流程反思，引导学生明确解决问题的关键是把一个数式化成几个数乘积的形式，从而为下面类比993-99的因数分解引出a3-a的因式分解做好铺垫。因数分解是学生小学就熟悉的，因式分解则是要学习的新知。通过类比，学生明确了学习方向，实现了化未知为已知的目的。

4.2讲授效果反思，本节课我主要以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法。在概念引入时，我将学生对因式分解的记忆退到了次要的位置，把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体。在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生类比的数学思想进行培养，到概念强化阶段，又以整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然。本节课亮点主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。

总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化。