教学改革在区间估计教学中的应用

薛珊 梁涵

摘要：将数学建模、HPM（数学史与数学教育国际关系研究小组）视角下的教学设计、数学软件等数学教学改革融合应用到区间估计教学中，利用HPM视角下的教学设计方法引入区间估计概念，以最新科研论文为依据建立并解决数学建模问题，最后利用数学软件求解置信区间。整个教学过程合理利用多媒体进行，将教学的重点不但放在知识本身，更要放在学生数学素养的培养上。

关键词：教学改革；区间估计；教学设计；数学建模

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）13-0134-03

一、引言

近年来，许多教育工作者对高校数学教育做了大量的研究[1-3]，得到了很多创新性的教学方法、教学手段。本文将这些成果融合应用到区间估计教学中，体现了教学改革成果的实际应用。首先本文运用了多媒体与板书相结合的形式[4-6]，在多媒体中运用了图片、视频、数学软件等，从而提高了学生学习的兴趣和学生运用软件解决问题的能力；其次运用了HPM视角下的教学设计[7]，从学生的角度出发，结合数学史发展过程，使学生对数学知识结构有了总体的把握；最后体现了教学内容的改革，数学课本中的例题在情景设置上有些已经落伍。本文对例题进行了改编，加入了迪拜等时尚元素，使其更具有时代特征，另外利用应用性极强的最新科研论文为原材料，从中抽取数学模型，以此作为例题，培养了学生分析和解决实际问题的能力。

二、区间估计教学设计

1.利用HPM视角下的教学设计方法引入并给出区间估计概念。

（1）利用HPM视角下的教学设计方法引入区间估计概念。HPM是1972年第二届国际数学教育大会上成立的数学史与数学教育国际关系研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of mathematics）的简称。HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、数学史与发生教学法、数学史与学生学习的困难、数学原始文献在教学中的应用等。在HPM视角下，笔者把区间估计概念的介绍分为三部分：问题引入、介绍概念产生的历史过程、介绍提出此概念的数学家及其故事，使学生能够理解此概念产生的必然性，感知数学文化，提高學生的数学素养。具体安排如下：引例：统计全国中学生的平均身高，导出问题：点估计存在的缺陷：它的可信程度有多大、精确程度有多高点估计解决不了。通过问题引导学生找到解决方法——区间估计，而后介绍区间估计概念产生的历史过程：在1934年，统计学家耶日·奈曼在皇家统计学会上做了个题目为“论代表性方法的两个不同方面”的演讲。论文的内容是有关抽样调查分析的，现在看来全文最重要的部分不是正文，而是在附录里。奈曼在附录里提出了一种非常直接的方法，创建了区间估计，并确定出得到的区间估计值的准确性。奈曼把这种新的方法称为“置信区间”，置信区间的两端称为“置信界限”。接着给学生介绍G·M·鲍利教授、费歇尔等人对这篇论文的评价及反映出的一些故事，还有这篇论文中的优缺点。历史背景的介绍可以使学生感受到数学的生命力，感知数学文化。往往一提到数学，很多学生都感到很难、很枯燥，那是因为很多时候数学教师只重视具体数学概念、定理的推导，数学计算技巧的讲解，而忽略了问题产生的历史背景，这就使学生无法把数学和实际生活联系起来，感受不到数学的活力和生命力。最后介绍提出区间估计概念的数学家——奈曼及其故事，从数学家的故事中体会做人做事的道理。奈曼与学生丹茨格的经典传奇故事：一天，丹茨格因故迟到了，看到黑板上写着两道题目，以为是老师留的课外作业，就抄了下来。在做的过程中，丹茨格感到有点困难，最后用了好几天时间才完成，为此他还特意向奈曼教授道歉。几周后的一个周末清晨，丹茨格被一阵急促的敲门声吵醒，奈曼教授一进门就激动地说：“我刚为你的论文写好一篇序言，你看一下，我要立即寄出去发表。”丹茨格过了好一阵子才明白奈曼教授的意思：原来那是两道统计学中著名的未解决问题，他竟然当成课外作业解决了！后来谈到这件事时，丹茨格感慨道：如果自己预先知道这两道是统计学领域中一直悬而未决的难题，根本就不会有信心和勇气去思考，也不可能解决它们。从故事引导学生总结出：一个人的潜能是难以预料的，成功的障碍往往来自于心理上的畏难情绪，因此一定要相信自己，保持积极的态度。除了介绍数学家外，还给学生推荐好的书籍。上课的时间是有限的，想让学生接触到更多的知识就需要给学生提供更多的信息。这节课给学生推荐书籍《奈曼——来自生活中的统计学家》，介绍历史背景时结合PPT，找出相关资料图和有关的视频，发挥现代化教学手段的优势。

（2）置信度、置信区间概念的理解。在给出概念前，本课设计先用通俗的语言简要介绍一下概念，使学生对概念有个初步的了解，而后再给出严密的数学定义，这样可以减小严密数学定义中大量数学符号对学生理解概念的困扰。通俗的叙述就是要找个区间，使这个区间包含真值的概率达到事先给定的一个概率值，那么这个概率值就是置信度，这个区间就是置信区间。

2.建立数学模型求解置信区间。

（1）正态总体均值置信区间公式的推导。数学很多定理的证明过程和题目的解题过程恰好是与思考分析的过程相反，如果只给学生讲解证明或解题的过程，学生很难理解怎么会想到用这样的方法证明或解题。所以笔者认为教学的重点不但是要让学生学懂、学会，更要让学生知道为什么会这么想。为了培养学生的数学思维，本节课对正态总体方差已知时均值的置信区间的求法做了如下设计。

问题：X～N（μ，σ2），σ2已知，求μ的置信度为1-α的置信区间。

分析：目标是求一个随机区间（，），使得

P{（X，X，…，X）<μ<（X，X，…，X）}=1-α.

令=-a，=+a，（改为求a，此时位于区间中点）

P{-a<μ<+a}=1-α（求a，将a移至一边）

P{|-μ|

考虑统计量

U=～N（0，1）

所以令a=u，（求a，改为求u）则

P（

≤u）=1-α

P（U≤u）=1-α

由正态分布的密度函数图像，得P（U≤u）=1-

从而可以求得u，u求得，则a求得，则区间（，）求得，问题解决。

分析完后，引导学生自己总结给出解题过程，从而培养学生归纳总结的能力和逆向思维能力。

（2）建立数学模型求解置信区间。求出正态总体均值的置信区间后，需要把它应用到实际问题中，让学生学会应用。而课本中的题目，由于编写时间较早，有些已经不太适合现代教学，为了和时代接轨，提高学生的学习兴趣，本节课两道例题选择改编、自编例题，进行了适当的创新。改编的题目如下。

例1：（观看视频30秒）假设采访去迪拜旅游过的游客100名，平均消费额为18000元，由实际意义可知去迪拜旅游的消费额近似服从正态分布；假设标准差为2500，求去迪拜旅游平均消费额的置信度为95%的置信区间。改编的例题结合现代化的教学手段——多媒体，让学生观看30秒的迪拜宣传片，既使学生得到了片刻休息，拓宽了视野，又会吸引学生的注意力，提高学习的效率。

例2：给学生展示论文“化纤检测标准中置信区间的应用”[8]。该论文是2010年发表的，文中对如何在化纤检测标准中应用置信区间来提升纺织行业的检测水平进行了详细的阐述，引用置信區间这种方法可以提高检测的科学性和合理性，能正确反映产品的性能，同时又能节约检测成本。提取数学模型：有一批粘胶短纤维试样，求其断裂强力平均值的置信度为95%的置信区间，要求半宽值在断裂强力均值观测值的5%以内，并且成本最小。按照GB/T14337-2008《化学纤维短纤维拉伸性能试验方法》检测，试验次数，若置信区间半宽值超过标准，增加试验次数：m=（t）×s×（×5%）-n.

假设做了50次试验，求得断裂强力：=3.82，

s=0.72

求解数学模型：根据正态总体均值置信区间求法，求出置信区间，检验半宽值。若超出，增加试验次数，再求半宽值，直到半宽值符合标准；若没有超出标准，则就是所要求的置信区间。

3.用Matlab软件求解置信区间。随着科学技术的发展，多种软件都能处理数学计算，比如Excel、Matlab、Mathematic、SPSS等。掌握好这些软件，可以提高学习效率，提高计算的准确性，避免数学计算的烦琐麻烦。这对教师也是一种挑战，教师必须不断学习，把现代技术运用到数学中来。

本节课以Matlab为例，介绍了用数学软件求解置信区间的方法。

参考文献：

[1]李岚.高等数学教学改革研究进展[J].大学数学，2007，23（4）：20-26.

[2]张志信.如何在高等数学教学中培养学生的创新思维[J].大学数学，2013，29（5）：7-12.

[3]罗三桂.现代教学理念下的教学方法改革[J].中国高等教育，2009，（6）：11-13.

[4]帅昌浩.PowerPoint课件教学在高等数学教学中的应用[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2013，30（1）：96-99.

[5]唐荣荣.多媒体技术在高等数学教学中应用性的分析[J].中国大学教学，2013，（7）：65-67.

[6]魏春燕，郎晓林.多媒体技术在高等数学中的应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2009，8（5）：79-80.

[7]冯振举，戴丽丽.国际HPM的发展历程及启示[J].西北大学学报，2005，35（5）：652-656.

[8]陆秀琴，周祯德，李红杰.化纤检测标准中置信区间的应用[J].上海标准化，2010，（230）：27-29.