什么是数学?—ICME-13中Gunter Ziegler教授的报告及其对我国中小学数学教学的启示

澳门大学教育学院(999078) 江春莲 刘付茵

2016年7月24-31日第13屆国际数学教育大会(ICME-13)在德国汉堡召开,章勤琼和谭莉(2016)对整个会议议程作了介绍,而本文则主要介绍来自柏林自由大学的冈特·齐格勒(Gunter Ziegler)教授的大会报告,报告题目是《什么是数学:为什么需要问这个问题、在哪里可以体验到或学会数学、谁可以教数学?》,齐格勒教授的报告分为两大部分,一是回答什么是数学?二是如何进行数学教学,体现数学的四个特质.最后我们将结合我国中小学数学课程与教学实际情况作些反思.

一、什么是数学?

齐格勒教授用四种方式来解释什么是数学,即描述式的、意象式的、全景式的和人类文化的视角.

1、描述式

他引用不同的资源对“什么是数学”的描述说明不同的人对“什么是数学”有不同的认识.例如:(1)它是一本书的名字,是理查德·柯朗(Richard Courant)和赫伯特·罗宾(Herbert Robbins)写的.该书自1941年出版以来,经过几次修订,我国也有多次出版.在该书序言中对什么是数学的解释是:作为人类思维的表达方式,数学反映的是积极的愿望、缜密的思考和对完美的追求,其基本的要素是逻辑和直觉、分析和构造、一般性和特殊性……不容置疑,所有数学的发展多少都源自实际应用的需要,一旦数学在实际中获得了应用,它就获得了发展的动力,甚至超出直接使用的范围.不仅在古代,数学源自实际应用,而后逐渐发展成理论科学,现代数学的发展很多也是由工程和物理所推动的.幸运的是,创造性大脑常常忽视教条的哲学信仰,因为遵循的话就会妨碍他们完成建构.无论是对专家还是对外行来说,唯一能回答“什么是数学”这个问题的,不是哲学而是积极的数学体验,也就是说我们只有通过“做数学”才能明白数学的涵义.(2)维基百科的定义:数学以数量(数)、结构、空间和变化为研究主题,无论是数学家还是哲学家,他们对数学的定义和范围持不同的观点.这个定义列出了数学的组成部分,但没有定义什么是数学.(3)德文的维基百科给出的定义:数学是一门科学,它起源于对几何图形的研究和数的计算.对数学,没有一个通用的被接受的定义.今天,我们常常把它描述成研究抽象结构的科学,它运用逻辑的定义创造自身,运用逻辑研究其性质和模式.齐格勒教授认为德国的定义也不合适,因为很多研究数学的人其实不一定在研究抽象的结构.

齐格勒教授认为上述对数学的多种定义是非常滑稽的、不正确的,这主要是因为如下的三个原因:(1)“数学是什么”这个问题很难;(2)关于这个问题有许多合乎常理的答案;(3)这个问题可以从三个不同的方面来回答:(a)数学是可用于日常生活的工具箱;(b)数学是文化的一部分,有着6000多年的历史;(c)数学是现代高科技的基础,这一点很重要.

2、意象式

齐格勒教授引用了多种资料说明,人们对数学的意象是很片面的.如(1)2007年英国希瑟·曼迪克等(Heather Mendick)的报告《数学的意象与本质:教育、娱乐和社会公正》,该报告说明学生对数学的认识仅限于数和基本的算术,所以他们的数学意象是非常狭隘和不正确的.(2)如果在google上输入“数学”搜索图片,得到的大多是写在黑板上的数学符号(包括公式和演算等).虽然这些都是数学,但数学并不仅仅是这些,所以我们对数学的意象不应该仅限于此.(3)德国科技部部长访问一个数学研究中心时,应别人的邀请在黑板上写点数学,她写下了a2+b2=c2,仍然是数学公式!(4)莫斯科游行队伍中一个人举着牌子,上面有一幅统计图的,并宣称他不相信选举委员会的主席丘洛夫(Churov),但他相信高斯.这是齐格勒教授喜欢的意象,因为齐教授是做几何的,所以他很喜欢有图形的东西.

3、全景式

齐格勒教授以德国在不同年代出版的《数学》封面(图1)为例说明人们对数学认知的变化.1963年的封面由四幅图组成,分别是埃及人建造金字塔、中国人打算盘、地理学家研究地球、开普勒研究天文等,图片显示人在做数学.1983年的封面仍有金字塔、算盘、天体,增加了莫比乌斯带、杨辉三角、骰子、韦恩图和火箭等,数学的范围更广了.但1983年的图有一些错误,如行星绕着太阳运转,但该图中行星和太阳的大小比例不合适,太阳也没在行星轨道的一个焦点处;莫比乌斯带只有一面,所以不能涂两种不同的颜色.与1963年版本相比,1983年的版本砍掉了太空旅行的部分,而增加了作为数学基础的集合论的内容,所以增加了韦恩图.2001年和2010年的封面保留了骰子、几何、数字等,添加了分形图形和作为计算机基础的二进制数字等,数学逐步走向现代化.

图1

4、人类文化的视角

最后,齐格勒教授通过两种做数学的人引入数学的文化视角.一种是数学家.在前面提到的希瑟·曼迪等人的报告中还指出,许多学生认为数学家的形象是:中产阶级的白种老男人,痴迷于自己的研究领域,缺乏社交能力而且除数学以外没有任何个人生活.造成学生对数学家形成这一刻板印象的原因是多方面的,其中包括大众文化中的数学家,如美丽心灵中的约翰·纳什等.试想想,如果学生对数学家的印象是这样的,他的梦想会是成为数学家吗?答案恐怕是否定的.因此,齐格勒教授认为“数学是什么”这个问题还应该涵盖了第四个方面的内容,即数学是一种人类活动,而且这四个方面的内容均应在学校数学教学中呈现出来.

另一个故事是关于媒体对数学的意象,讲的是普通的人.2010年,媒体报道女孩能够和男孩一样学好数学,配的图片是一个小女孩在玩计算器.齐格勒教授觉得该图片似曾相识,通过查看照片信息,得知照片是1998年拍的,主角名叫莎拉·雪莉(Sarah Sherry),于是他通过各种方式寻找莎拉现今的状态.最终,他得到莎拉的亲自回复,说她当时在读幼儿园,那天她做完了数学作业,接着玩计算器.莎拉毕业于曼彻斯特大学材料科学专业,从事一个需要很多数学的工作,爱玩社交软件,热爱舞蹈,所以莎拉确实是一个很好的媒体对象,因为她的事迹说明女性也可以从事数学或与数学相关的工作,而且也可以是生动活泼的、社交能力好、有自己私人生活的人.

二、如何进行数学教学,体现数学的四个特质

1、突破克莱茵讲的双重不连续性

1908年,著名数学家、数学教育家菲利克斯·克莱因在其名著《高观点下的初等数学》里引进数学的双重不连续性概念(Klein’s Double Discontinuity).一是中学数学到大学高等数学的不连续性.大一新生入学之初发现他面对的数学问题跟中学里学过的东西好像完全没有联系,自然地,他很快就忘记了中学里学过的东西.二是从大学数学到中学数学教学的不连续性.学生大学毕业后,当了数学教师,要教授传统的初等数学.由于他难以将当前的教学内容和他在大学学到的高等数学联系起来,于是很快就回到了传统的教学方式,大学学习至多成为一种愉快的回忆,但对他的中学教学毫无影响.双重不连续性是数学教学中的一个重大问题.克莱因试图解决,但一直没有彻底解决,齐格勒教授介绍了三个他参与的试图解决这一问题的项目,并坦承,每一个项目都不能真正解决这个问题.

2、数学概论

第一个项目是《数学概论》,它是一门本科课程,该课程试图给学生展示数学的全貌,其成果就是齐格勒教授与安德鲁·卢斯(Andreas Loos)共同撰写的《数学概论》一书.该书分为如下三个部分:(1)什么是数学?介绍数学的涵义,数学研究,数学公式、图像和证明,以及数学哲学;(2)数学的关键概念,包括无穷、维度、质数、数、函数和概率;(3)数学实践,包括计算、算法、应用和大众数学.该书每一章均有2-4页的总结,说明读者应当知道的内容.

齐格勒教授以一问一答的形式列出了该书的部分精彩内容.如数学从哪里来?数和几何图形起源于石器时代.数学有多大?全世界有多少数学家?前面一个问题他没有回答,对后一个问题的回答则取决于对数学家的定义.如果只是考虑有数学博士学位的人,那么截止至2016年11月26日,来自数学家谱计划(Mathematics Genealogy Project)统计的数据显示,约20多万.如何做数学?数学研究是怎样的?了解数学和数学研究的方法之一是收集数学家的生平.当代的数学研究在做什么?有什么巨大的挑战?当代部分数学研究是在解决克雷数学研究所提出的千禧年(2000年)数学问题.数学有多少分支?根据美国数学学会给出的数学学科分类标准,数学分支有5020个.化学有化学工业,为什么数学没有自己的产业?其实,数学也有自己的产业,如金融、电信等.什么是数学的核心概念?它们仍推动数学研究的发展吗?第一个问题的答案在《数学概论》第二部分已列明,后一个问题的答案也是肯定的.数学有什么用?数学是理解世界的基础,同时也是科学技术发展的基础.日常生活中,我们什么时候会用到数学知识?我们不仅在计算时运用数学,在查地图和计划旅行等各种活动中都会用到数学.日常生活中,我们在什么地方可以看到数学?在每台智能手机中看到的数学比单个人在学校里学到的数学多得多!

3、数学意象

第二个项目是数学意象,其作品是《数学—这不是艺术吗!》一书,该书每章的开篇是2-4页的介绍,其余页面则是对那2-4页内容的详细说明.齐格勒教授收集了24个图片,如:《艾美·诺瑟:现代代数之母》一书的封面(图2),该封面上的女子却不是艾美·诺瑟(Emmy Noether)本人;德国《数学》的封面(图1);解决了千禧年数学问题中的庞加莱猜想的数学奇才格里戈里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼(Grigori Yakovlevich Perelman)的照片,佩雷尔曼因拒绝了两个数学大奖,即菲尔兹奖和千禧年大奖而出名;5岁的莎拉·雪利玩计算器的照片等.这些图片背后都有故事.

图2

4、数学故事

第三个项目是故事.齐格勒教授指出,尽管在中小学数学教学中,我们没有那么多的时间去讲故事,但是我们仍然需要这些内容,让学生懂得数学是如何解决问题的,数学是如何发展的及其对社会和科技的影响.这个项目的成果是《我在数数吗?数学中的故事》,书中分享了许多趣味数学故事,特别是数学家发现数学的地方的故事,如桌上、咖啡室、床上、教堂里等等.此外,该书还介绍了数学的三大传奇,包括数学家与数学家之间的争论、因为柯瓦列夫斯卡娅(Kovalevskay)的错误导致数学没有诺贝尔奖,和亚历山大(Alexander Grothendieck)的失踪.

三、启示

齐格勒教授的报告给我们的启示有:(1)我们在教数学的时候,需要向学生展示数学的不同方面.我们不仅需要介绍数学知识、数学思想和方法,还需要介绍这些东西是如何发展而来的,如何应用的,如何促进社会和科技的发展等数学史、数学思想史的知识;(2)多用来自现实世界中的例子来教数学,帮助学生学会用数学知识解决生活中的问题,让学生明白数学源自生活,应用于生活;(3)为让学生感受到数学的趣味性,可以介绍数学家的趣事、开展数学活动或者解趣味数学谜题等,反映数学作为人类的一种文化活动的特点.

[1]Mendick,Heather(2007).Mathematical images and identities:education,entertainment,social justice:Full Research Report ESRC End of Award Report.RES-000-23-1454.Swindon:ESRC.

[2]章勤琼,谭莉(2016)第13届国际数学教育大会综述.小学教学(数学版),4-6.