带混合阻尼边界的二维波动方程有限差分格式

刘建康， 张　珂

(山西大学 数学科学学院, 山西 太原　030006)

0　引言

波动方程是一种重要的偏微分方程，在声学、电磁学、和流体力学等科学领域中有着广泛的应

用[1-3].近年来，随着分布参数系统的研究发展，在波动方程的稳定化控制中，出现了一类带特殊阻尼边界的波动方程[4].如下述带混合阻尼边界条件二维波动方程的初边值问题.

wtt(x,y,t)-Δw(x,y,t)=f(x,y,t),

0

wx(0,y,t)=w(0,y,t),wx(1,y,t)=-wt(1,y,t),

0≤y≤1 (2)

wy(x,0,t)=w(x,0,t),wy(x,1,t)=-wt(x,1,t),

0≤x≤1 (3)

w(x,y,0)=φ(x,y),wt(x,y,0)=ψ(x,y),

0≤x,y≤1 (4)

其中：φ(x,y)∈C2(0,1),ψ(x,y)∈C1(0,1),f(x,y,t)为已知充分光滑的函数，且φ(0,0)=0,ψ(0,0)=0,ψ(0,y)-φx(0,y)=ψ(x,0)-φy(x,0),φx(1,y)+ψ(1,y)=φy(x,1)+ψ(x,1),即初始条件和边界条件相容.

作为一般的数学模型，带有阻尼边界条件的波动方程，很难求得其精确解析解，故波动方程初边值问题的数值算法研究对解决实际问题具有重要作用.关于一维波动方程的数值算法分析，现已有不少学者研究并取得了优秀成果，例如，孙志忠[5,6]对带有Dirichlet初边值问题的一维波动方程建立了显式、隐式格式，并分析了其稳定性和收敛性.文献[7]对一维边界阻尼波动方程建立了时间半离散有限差分格式，文献[8]对一维双曲方程建立了高阶差分格式.常红等[9]对Camassa-Holm方程建立了三层守恒有限差分格式，并证明了差分格式在L∞范数下的收敛性及稳定性，Guanghua Gao等[10]研究了带Neumann边界条件的热方程的几种紧致差分格式，并分析了收敛性与稳定性.以上学者对一维波动方程数值分析的研究成果显著，为二维甚至高维波动方程数值分析的研究奠定了基础.

然而，多维偏微分方程与一维相比，维度变大导致内部节点增多，给研究带来了新的挑战.文献[11]给出了椭圆外区域上各向异性常系数二维Helmholtz方程的一种数值解法，并验证了其有效性，吕桂霞等[12]讨论了二维热传导方程的并行差分格式，得到了稳定性条件和最大模误差估计.Bouslous等在文献[13]中研究了二维边界阻尼波动方程的时间半离散有限差分格式及其稳定性.文献[14]探究了带有内部阻尼项的波动方程在二维和三维条件下的ADI格式.张洪伟等[15]对三维双曲方程非齐次初边值问题建立了新型LOD有限差分格式，并证明了格式的收敛性.以上二维甚至高维偏微分方程的差分格式研究均基于边界为Dirichlet边值条件的情况，对于Neumann型甚至左下边界为Robin边界，右上边界为Neumann阻尼边界的二维甚至高维研究则相对较少.本文对系统(1)～(4)构建了全离散隐式有限差分格式，进一步建立了差分格式的先验估计式，最后证明了其稳定性和收敛性.

1　记号和引理

‖δxu‖=

‖uk‖=

其中‖uk‖为u在tk时刻的L2范数，|uk|1为u在tk时刻的半范数，或为差商的L2范数.

引理1(Gronwall不等式)设{Fk,Gk|k≥0}为非负序列，满足Fk-1≤(1+cτ)Fk+τGk,k=0,1,2,…,其中c为非负常数，则有

2　差分格式的建立

定义Ωhτ上的网格函数

其中

在结点(xi,yj,tk)处考虑定解问题(1)，有

f(xi,yj,tk),1≤i,j≤M-1,1≤k≤N-1,

根据Taylor展开式及中心差分格式可得

(5)

其中

在结点(xM,yj,tk)处考虑边界条件式(2)右项，有

(6)

根据文献[5],得

tk-1≤ηMk≤tk+1

(7)

(8)

将式(7)和式(8)代入式(6)可得

(9)

运用相同方法，可得式(3)右项的差分格式为

(10)

综合式(9)和式(10)可得边界交线格式为

(11)

其中

在结点(x0,yj,tk)处考虑边界条件式(2)左项，有

(12)

由于

(13)

tk-1≤ηok≤tk+1

(14)

将式(13)和式(14)代入式(12)，有

1≤j≤M-1,1≤k≤N-1

(15)

同样地，可得式(3)左项的差分格式为

1≤j≤M-1,1≤k≤N-1

(16)

综合式(15)和式(16)，得

1≤k≤N-1

(17)

其中

1≤k≤N-1,

综合式(2)左项及式(3)右项，式(2)右项及式(3)左项，分别可得

(18)

(19)

根据一阶导数的偏心格式可得式(18)、式(19)的差分格式分别为

(20)

(21)

将结点(xi,yj,t1)在(xi,yj,t0)点泰勒展开，得

(22)

1≤i,j≤M-1,1≤k≤N-1

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

3　差分格式解的先验估计式

下面的定理给出了差分格式(23)～(33)的先验估计式.

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

的解,则对任意的k有

(45)

其中

证明：记

(46)

1≤k≤N-1

(47)

对式(47)左端第一项整理可得

(48)

对式(47)左端第二、三项整理可得

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

又由于

将(47)～(54)相加，利用不等式性质得

考虑到式(46)，得

由引理1Gronwall不等式可得

(55)

又根据Taylor展式和三角不等式，可得

(56)

将式(56)代入式(55)可得不等式(45)，即证.

4　差分格式解的存在性、收敛性和稳定性

下面三个定理分别给出了差分格式(23)～(33)的唯一存在性、收敛性和稳定性.

定理2定解问题(1)～(4)的差分格式(23)～(33)是唯一可解的.

现设wk-1,wk(1≤k≤N-1)已确定.关于wk+1的差分格式的其次方程组为

1≤i,j≤M-1,1≤k≤N-1

(57)

1≤j≤M-1,1≤k≤N-1

(58)

1≤i≤M-1,1≤k≤N-1

(59)

1≤k≤N-1

(60)

1≤j≤M-1,1≤k≤N-1

(61)

1≤j≤M-1,1≤k≤N-1

(62)

1≤k≤N-1

(63)

根据归纳原理，差分格式(23)～(33)存在唯一解，定理证毕.

证明：根据差分格式的误差方程组

由定理1得

‖ek‖=O(τ2+h2),1≤k≤N-1.

证明：直接利用定理1可证.

5　数值实验

通过构造精确解验证差分格式(23)～(33)的收敛性，考虑如下初边值问题

算例：

wtt(x,y,t)-Δw(x,y,t)=

wx(0,y,t)=w(0,y,t),wx(1,y,t)=

-wt(1,y,t),

wy(x,0,t)=w(x,0,t),wy(x,1,t)=

-wt(x,1,t),

方程的精确解为

假设E(h,τ)=O(τp+hq)，如果τ充分小,则E(h,τ)≈O(hq).

同理,如果h充分小,则E(h,τ)≈O(τp),

计算结果如表1和表2所示.

表1　在时的数值结果

表2　在时的数值结果

根据表中数据可得，差分格式(23)～(33)关于时间和空间均二阶收敛.

6　结论

本文研究了矩形域内左下边界为Robin边界，右上边界为Neumann阻尼边界的二维波动方程的全离散隐式有限差分格式,通过离散能量方法构造了差分解的一个先验估计式,根据先验估计式证明了差分数值解关于时间和空间都是收敛的,并且差分格式关于初始条件和右端源项均是无条件稳定的.

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