基于数学与应用数学专业的“复变函数”课程的教学与实践

刘 玲

（韶关学院 数学与统计学院，广东 韶关512005）

“复变函数”是当前理工科数学的一门重要的基础课，也是数学与应用数学专业数学分析课程的后继课程。整个课程体系完整、内容严谨、系统性突出：它是利用自变量为复数的函数，将数域从实数域扩充到复数域［1］，从而构建了新的数的表示形式x+iy。该课程以柯西-黎曼方程为理论研究依据，柯西积分公式为主要工具，洛朗级数为留数的研究前提，共形映射与解析延拓作为应用和推广［2］，最终形成了独特的理论和计算技巧。根据数学与应用数学专业的特点和培养目标，如何让该专业学生高效地学好这门课程,对该课程教学和实践非常有意义。

一、“复变函数”课程教学面临的问题及现状

复变函数相对于实变函数而言，研究的数域范围得以扩充，其研究的对象、使用的工具和理论依据都随之改变。对于刚刚接触这门课程的学生来说，该课程学习起来比较困难，且内容枯燥。科学合理地组织教学，让学生能够愉快地学习并轻松掌握该课程内容，进一步激发学生的学习兴趣，这些都给教师提出了严峻考验。目前在“复变函数”教学中存在以下几个方面的问题。

（1）课程学时减少。当前高等教育进行改革，新的专业课程不断涌现，原来的一些专业课时不断减少。根据《韶关学院数学与应用数学专业的培养方案》，这门课程课时已缩减到51学时，按照教学计划和课时量的安排，最后两章——共形映射与解析延拓只能自学，有些内容也只是一带而过。尽管如此，但教学任务依旧繁重，导致课程安排基本都是教师的单向讲解，学生思维跟不上，对所学过的知识囫囵吞枣［3］，达不到预期的教学目的。

（2）与前沿知识脱钩严重。一般来说，复变函数是在学完数学分析之后再开设的，但在教学过程中发现许多学生基本上忘记了数学分析中的知识，再加上有部分专插本学生，水平参差不齐，使得他们在学习中不会运用数学分析中的类似的定理和结论进行类比学习，单单了解知识表面，难以掌握该课程的精髓。

（3）理论与应用结合不紧密。在讲授课程时，大部分学生停留在书本的理论知识上，记住的只是解析函数、洛朗级数、留数等概念及相关定理，却甚少延伸到本课程在其他学科方面的实际应用。再者学生的学习比较被动，谈不上在学习过程中用数学分析的思想去重新审视中学数学，更谈不上研究其内在联系。

因此，有效改变教学现状、提高教学质量是当前亟待解决的问题，对该课程进行一些相应的改革是十分必要的。

二、“复变函数”课程教学改革的探讨

数学与应用数学专业要求学生具有较强的逻辑思维能力，在掌握数学科学的基本理论与基本方法的基础上，还要培养学生解决实际问题的能力，并进一步培养他们的创新意识、创新思维和创新能力［4］。

根据专业特点及教学现状，接下来将从深化教学内容和改进教学方法手段两方面对该课程进行研究。

（一）教学内容的深化

由于数学与应用数学专业特点主要体现在实际应用方面，这就需要在教学过程中对课程内容做一些调整，并补充一些最新的学科动态。

（1）补充完善复数这块知识［1］。学生在刚接触到实函数后，对复数方面的知识比较欠缺，可以选择在讲授新课前，加以适当的补充；另外再简单介绍一下与本课程有着经典渊源的“复变函数论”和其他学科知识，以达到知识的衔接性，进一步增加学习兴趣。

（2）合理安排教学内容。由于该课程每个章节之间都有内在联系，是一个有机的整体，在教学中可巧妙设计章节的引入，从概念的理解，定理的掌握到具体例题的演练，适当引导学生进行多思、多变、多解训练，以培养学生的创造性思维能力［5］。例如在介绍第六章留数的时候，需要以前一章洛朗级数作为理论前提。留数的定义是级数的负一次幂系数，反之其定义又给大家提供了复积分的计算方法，同时相关定理也解决了数学分析中无法求解的几类实积分，这不仅联系了教材第三章柯西积分公式，而且也是数学分析课程的拓展。

对一些重点、难点及一些特别的知识可以适当增加课时，例如复变函数的多值性、解析函数的无穷可微性、零点孤立性及洛朗级数等。

（3）结合实际应用。正如杨叔子先生所言：“学习是为了实践，没有实践，没有证实，就没有科学”［6］。复变函数不仅已经渗入到数学的多个分支学科，且在热力学、电学等理论物理方面也有很广泛的应用。例如在流体力学中，可用复变函数建立平面场的数学模型：平面流速场的速度分布可用复函数V=V(z)=Vx(x,y)+iVy(x,y)来表示，其中 Vx(x,y)和 Vy(x,y)是速度分量，V(z)称为复速度［6］。这些实际问题，让学生在学习过程中不再感到抽象，并加强了课程之间的联系。

（二）教学方法、手段的改进

在教学过程中，及时调整方法，因材施教，并将新的教学方式融合到教学过程中，做到教学相长。

（1）调整教学方法。目前，韶关学院选用的教材是《复变函数论》（高等教育出版社，钟玉泉编第四版），该教材具备系统性、整体性，针对相关章节采取灵活多样的教学方法。例如教材的第一章就接触到复变函数的极限、连续的概念，这与数学分析相应的概念非常相似。采用平行迁移法得出其导数概念在形式上与数学分析中一元实函数导数概念相似，这使得学生更加容易地掌握；表面上学生发现两个公式在字母上有不同，考虑到两者的数域有差别，进一步运用探究法则可得出两类函数相应概念之间的本质区别很大［7］，从而培养他们逻辑思维能力。

又比如在数学分析课程中，从几何角度分析总结并归纳出定积分的定义，而在复变函数中，使用类比法可以直接从表达式入手得出复积分的定义［8］。

（2）根据学生的能力，采取因材施教。每章授课前预留一次课，采取小课堂讲解基本概念及小组讨论相关性质来展开学习活动。以函数的解析性为例，基础差的同学讲解概念，然后在教师的指导下，分组讨论解析性与可微性的区别，再求解实际例题。大家轮流备课讲解，使学生掌握解析的本质，加深了解课程内容，达到教学相长。

（3）恰当地使用现代化教学设备及移动电子设备，改进教学手段。制作精美的教学课件，使课程内容更生动活泼、表达更清晰，但作为数学课，在黑板上进行足够的演算和推理是必要的，因此也需与传统黑板教学相结合［9］；建立学习交流群，使用微信等软件进行课外讨论和视频答疑；另外在教学过程中补充一些优秀的数学软件，如Matlab、Maple和Mathematica等［2］，可以加快数值运算，如函数值的乘幂，可化繁为简，而且可以运用数学软件绘制复变函数的图像，让学生更加清楚直观地理解新知识。

三、结语

随着社会对应用型人才的需求增加，“复变函数”作为韶关学院数学与应用数学的基础专业课，必须重视课程教学，在借助数学分析课程的前提下,掌握相应的基本概念和定理，促使学生能够熟练、灵活地运用所学知识去解决实际问题。文中主要利用教学方法和课程内容的调整，对“复变函数”课程教学进行探讨，从而培养学生逻辑思维能力，提升学生对专业的认同感，树立学生的专业思想，使其确立适合自己的专业发展方向。

参考文献：

［1］李志远.对于复变函数课程教学改革的探析［J］.无线互联科技,2015(1)：233.

［2］郭秀凤.复变函数课程教学改革探讨［J］.科技信息,2014(8)：21-22.

［3］尹景本，赵晨萍.复变函数课程的教学方法探讨［J］.长沙大学学报,2013(2)：125-126.

［4］梁小林，张弘强.数学与应用数学特色专业之特色探讨［J］.湖南工业大学学报,2010(1)：90-91.

［5］丁明玲.“复变函数”课程教学方法探讨［J］.兰州教育学院学报,2013（7）：118-119.

［6］周海平.加强复变函数论物理意义及应用的教学［J］.中国科技信息,2008（21)：272-273.

［7］徐洪焱.复变函数课程的教学思考［J］.科技信息,2012(29)：251.

［8］陈跃.从历史的角度引入复积分［J］.高等数学研究,2007(1)：14-17.

［9］龚定冬,郭玉琴.关于复变函数与积分变换课堂教学的思考［J］.高等数学研究,2009(4)：93-95.