风洞六自由度机构运动解耦性分析

孙　琦　谢志江　吴经纬　李　晟　宋宁策

重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆，400044

0　引言

在飞行器型号研制中，为了解决炸弹、副油箱、导弹等外挂物从其母机分离后，可能撞击母机或其他邻近外挂物而危及母机安全的问题，迫切需要确定外挂物离开母机初始阶段的运动轨迹特性，为外挂物在其母机上的合适布局和投放参数控制提供依据。

在高速风洞试验中，捕获轨迹试验法就是一种测量外挂物投放运动轨迹的先进试验方法，它利用计算机、支撑外挂物模型的六自由度机构和风洞三者之间的相互配合，来实现对外挂物投放轨迹的模拟。其中，六自由度机构向支撑于其上的外挂物模型提供俯仰、偏航、滚转、纵向、横向和铅垂向六种运动形态。模型均为专门定制的易损、价格昂贵的重要关键部件，且试验时不同的模型需要更换不同长度的尾支杆，因而对六自由度机构在设计上的总体要求较多，如风洞试验的堵塞度、刚度、强度、结构布局、驱动力、平稳性、精准度、运动范围等[1-2]。

重庆大学以串联机器人结构为设计基础，研制了一套风洞六自由度机构，该机构存在阻塞度小、刚性好、特定尾支杆长度满足运动解耦、不同模型便于更换尾支杆等优点。

串联机器人的运动学分析大多采用D-H参数法[3-6]，但该方法建立局部坐标系的过程较复杂，且当相邻关节轴线接近平行时，机器人会出现奇异性问题。一些学者采用增加参数的方法来解决奇异性问题，带来了模型建立过程不直接、形式复杂、缺少通用性等新问题[7-9]。一种新的求解方法是利用旋量建立运动学模型，应用指数积求解运动学方程，该方法最早由Brockett引入机器人建模，相比于D-H参数法，该方法具有在惯性坐标系中从整体上描述刚体运动的优点，避免了D-H参数法应用局部坐标系描述的不足，大大简化了机构的分析及求解过程[10-12]。

机器人机构的运动解耦特性对机器人的控制及运动精度非常重要。运动解耦型的机器人其运动自由度可由相应的运动输入单独实现，因此机构更容易控制和实现更高的运动精度。在已有大部分多自由度串联机器人的设计中，一般都遵循了这样的原则。但是对于尾支杆经常更换的风洞六自由度机构，模型的某些姿态角却具有不解耦的特征，这将直接影响到运动轨迹规划和实时控制[13]。

本文对设计出的某种风洞六自由度机构进行运动学分析，提出了一种尾支杆变换后不解耦的姿态角补偿方法，并通过激光跟踪仪标定试验[14-16]进行验证。

1　六自由度机构的结构组成

该六自由度机构结构紧凑，可简单可靠地实现功能要求。为避免机构和风洞试验段的干涉及提高机构本身的刚性和结构合理性，本套机构六个自由度实现顺序依次为：横向自由度Z、纵向自由度X、偏航自由度β、法向自由度Y、俯仰自由度α、滚转自由度γ。分别设计了Z向驱动机构、X向驱动机构、偏航机构、Y向驱动机构、俯仰机构、滚转机构。整体机构如图1所示，其中机构五个自由度均在流场外，只有一个尾部支撑的滚转自由度处在流场中，进而成功实现了阻塞度的最小化。

1.Z向导轨　2.Z向滑块　3.X向滑块　4.偏航直线滑块 5.偏航连杆　6.偏航弧形导轨　7.Y向滑块　8.俯仰直线滑块 9.俯仰连杆　10.俯仰弧形滑块　11.滚转尾支杆图1　六自由度机构Fig.1　6-DOF mechanism

该机构的X向移动、Y向移动、Z向移动均通过两个高精度直线导轨导向，伺服电机驱动精密滚珠丝杠单独实现，滚转机构则直接通过力矩电机驱动转轴实现，为便于尾支杆的更换，尾支杆与转轴之间通过楔形销连接。

偏航和俯仰运动分别通过单独的偏航机构和俯仰机构实现，实现原理均是滑块曲柄机构，如图2所示，直线滑块由滚珠丝杠驱动，角度导向装置采用高精度弧形导轨。

1.直线滑块　2.转轴a　3.直线导轨　4.连杆 5.转轴b　6.弧形滑块　7.弧形导轨图2　滑块曲柄机构Fig.2　Slider crank mechanism

偏航机构由于现场风洞试验段空间限制，采用弧形滑块固定、弧形导轨运动的安装方式，因此偏航机构的直线导轨和弧形滑块均固定于驱动基座上，弧形导轨和转轴b则固定于执行基座上。滚珠丝杠驱动直线导轨上的滑块往复运动，经连杆5传递，带动固连于执行基座上的弧形导轨沿固连于驱动基座上的弧形滑块做圆周往复运动，从而实现偏航运动。而俯仰机构则是弧形导轨固定、弧形滑块运动的安装方式。显然，偏航机构和俯仰机构的旋转中心均是各自弧形导轨的圆心。

从运动解耦性而言，机构设计时应保证偏航和俯仰机构的旋转中心在一条铅垂线上，并把两个旋转轴的交点(实则为俯仰机构的旋转中心)定义为机构的旋转中心。运动简图的坐标系OqXqYqZq就建立在机构旋转中心，方向与风洞坐标系保持一致即沿风洞轴线喷管指向扩压器方向为正X方向，铅垂向上为正Y方向，Z方向根据右手定则判定。

2　运动学分析

2.1　李群及旋量理论

刚体的任一位形可由物体坐标系S相对固定坐标系T的位置t∈R3和姿态R∈SO(3)确定，其所有位形组成的空间称为刚体的位形空间，记作SE(3)：

SE(3)={(R，t)}

(1)

其中，SO(3)为三维旋转群，且满足

SO(3)={R∈R3×3:RRT=I，det(R)=1}

(2)

(3)

设ω=(ω1，ω2，ω3)表示刚体转动中旋转轴方向的单位矢量，则：

(4)

(5)

其中，对于转动副，θ为转动的角度，对于移动副，θ为移动的距离。

在刚体上的物体坐标系T相对于惯性坐标系S的位姿变换可以用刚体运动gST(θ)来表示，以gST(0)表示物体坐标系相对于惯性坐标系的初始位形，则刚体相对于某一特定轴做螺旋运动ξ，可以表示为

(6)

2.2　串联机器人正向运动学的指数积公式

定义机器人的初始位形(或参考位形)为机器人对应于θ=0时的位形，并用gST(0)表示机器人位于初始位形时惯性坐标系与工具坐标系间的刚体变换。对于每个关节都可以构造一个单位运动旋量ξi，用它可以表示第i个关节的螺旋运动，这时除第i个关节之外的所有其他关节均固定于初始位形(θj=0)。

对于转动副，有

(7)

对于移动副，有

(8)

这时，机器人正向运动学的指数积公式如下：

(9)

利用指数积公式，机器人的运动学完全可以用机器人各个关节的运动旋量坐标表征。

2.3　六自由度机构运动学分析

首先考虑一般情况，即更换尾支杆后，尾支杆长度不满足模型质心与机构旋转中心重合的情况下，对机构进行运动学求解。该情况下机构的运动简图见图3。图中只保留了偏航和俯仰的弧形导轨和弧形滑块。由于外挂物的三个姿态角均是相对于模型质心定义的，因此偏航转轴和俯仰转轴分别为NN′和MM′，两轴交于模型质心S，以S点为坐标原点建立工具坐标系{S}。

图3　六自由度机构运动简图Fig.3　The kinematic diagram of the 6-DOF mechanism

建立惯性坐标系{T}即风洞坐标系，取六个自由度都为零的位形为初始位形，此时点T为机构的旋转中心。设尾支杆长度变化量为Δl(尾支杆变短Δl取正值，变长则取负值)，则初始位形下工具坐标系相对于惯性坐标系的刚体变换为

各个关节的单位运动旋量计算如下。

因此可得

(10)

nx=cθ3cθ5ny=sθ5nz=-cθ5sθ3

ox=sθ3sθ6-cθ3cθ6sθ5oy=cθ5cθ6

oz=cθ3sθ6+cθ6sθ3sθ5

ax=cθ6sθ3+cθ3sθ5sθ6ay=-cθ5sθ6

az=cθ3cθ6-sθ3sθ5sθ6

其中，cθ表示cosθ，sθ表示sinθ。

由式(10)可得，模型质心与机构旋转中心不重合时，质心S相对于惯性坐标系的位置坐标为

TS=(θ2+Δl，θ4，θ1)

(11)

令Δl=0，由式(10)即可得尾支杆长度满足模型质心与机构旋转中心重合情况下六自由度机构的正运动学指数积公式为

(12)

3　运动解耦性分析

参考实际的机械结构可以发现，无论尾支杆长度如何变化，偏航机构和俯仰机构始终都是以各自的旋转中心(弧形导轨圆心)做旋转运动，各自的旋转轴即为图3中的EE′和FF′。机构旋转中心相对于工具坐标系始终保持不变，因此偏航机构和俯仰机构实际上是绕定轴做旋转运动。

但是模型的三个姿态角始终是相对于模型质心进行定义，尾支杆长度变化后，且当六个自由度都为零时，质心即为图3中的S点，当机构发生运动后，该点相对于工具坐标系的位置也始终保持不变，相对惯性坐标系的位置坐标则为(θ2+Δl，θ4，θ1)。

滚转角γ始终绕工具坐标系的XS轴做旋转运动，轴线上任何一点都可以看成滚转中心，因此尾支杆长度的变化不会对滚转角γ造成任何影响，却会对偏航角β和俯仰角α产生影响。

根据机构旋转中心的定义，设S点相对于惯性坐标系的初始点为(θ2+Δl，θ4，θ1)，模型的偏航角β和俯仰角α相对于模型质心的运动过程如下：首先偏航角β和俯仰角α仍以机构旋转中心进行旋转运动，此时模型质心S点也将与机构旋转中心同步发生旋转运动至S′点，然后再通过X、Y、Z三轴的平移将S′点平移回初始点S，平移过程不会改变模型的姿态角。

(13)

由式(13)可以得出S′点相对于惯性坐标系的位置坐标为

TS′=(θ2+Δlcθ3cθ5，θ4+Δlsθ5，θ1-Δlcθ5sθ3)

(14)

由式(11)和式(14)可以得出，将S′点平移至S点，平移向量TS′S为

TS′S=TS-TS′=
(Δl(1-cθ3cθ5)，-Δlsθ5，Δlcθ5sθ3)

(15)

则向量TS′S沿惯性坐标系三个坐标轴的分量为

(16)

通过以上分析可知，当Δl=0即模型质心与机构旋转中心重合时，根据式(15)有TS′S=0，即不需要平移运动，机构就能单独完成偏航运动和俯仰运动，因此机构是完全解耦的。当模型质心与机构旋转中心不重合时，偏航角β和俯仰角α相对于模型质心的运动不但需要偏航机构和俯仰机构本身参与控制，还需要X、Y、Z三个移动自由度参与控制，因此偏航运动和俯仰运动是不解耦的。

4　补偿试验

在风洞六自由度机构尾支杆更换后，机构在模型质心与机构旋转中心不重合时，当机构执行俯仰角α和偏航角β时，需要在X、Y、Z三个坐标轴上提供相应补偿量。为了验证该指数积方法推论出不解耦姿态角在X、Y、Z三个坐标轴上补偿量的正确性，更换尾支杆(Δl=60 mm)后，通过控制程序对机构在不同姿态角下先进行理论值补偿后，然后再检测模型质心的实际位置。该试验系统由激光跟踪仪、3个靶标座和风洞六自由度机构组成，如图4所示。

图4　标定试验系统Fig.4　System of calibration experiment

首先将3个靶标座固定到尾支杆末端外挂物端面上，控制该六自由度机构运动到某一位姿，并通过控制程序补偿相应位移量，记录此时机构控制程序上显示的位姿信息X、Y、Z、α、β、γ，同时记录外挂物上3个靶标点的坐标P1、P2、P3。换不同姿态重复上述操作，记录6组不同数据如表1所示。

表1　标定试验记录Tab.1　Records of calibration experiment

根据刚体特性，只需要在末端执行器或工件上布置三个以上不在同一条直线上的靶标点，就可以实现对位置和姿态的测量。通过测得靶标点P1、P2、P3的坐标可以换算出当前外挂物质心的实际位姿X′、Y′、Z′、α′、β′、γ′，与外挂物理论位姿X、Y、Z、α、β、γ的差值，如图5所示。从图5中可以看出采用该指数积方法补偿后，该风洞六自由度机构在X、Y、Z位移方向误差在0.1 mm以内，姿态角α、β、γ误差在1′以内，具有较高精度，达到使用要求，验证了该方法的正确性。

(a)位置误差

(b)姿态误差图5　位姿误差Fig.5　Compensated posture error

5　结语

本文设计了一种适用于某风洞的六自由度机构，基于李群及旋量理论，建立了六自由度机构的指数积运动学模型，得出了机构运动学正解，在已知各关节变量时，可求得外挂物模型相对于风洞坐标系的位姿。根据运动学正解公式推导出了模型质心与机构旋转中心不重合时模型偏航运动和俯仰运动的移动补偿量。通过更换尾支杆后进行理论补偿，采用激光跟踪仪标定外挂物模型质心的实际位姿，与理论位姿对比，误差范围能达到工程使用要求，证明了该方法的可行性，为机构运动轨迹规划和控制研究提供了理论基础，同时对具有相似结构的六自由度机构有一定的借鉴意义。

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(编辑王旻玥)