双相外激波摆杆活齿传动耦合刚度

宜亚丽　豆林瑞　郭　辉　金贺荣

燕山大学机械工程学院，秦皇岛，066004

0　引言

双相外激波摆杆活齿传动的激波凸轮为几何轴对称形式，易实现活齿啮合副的整体静动态受力自平衡，工程应用前景良好。活齿传动装置的构件组成、工作状态与载荷变化决定了其本质上是一个多因素耦合作用的动力学系统，其动态性能的研究一直是学者们关注的热点。

李怀勇等[1-2]对滚柱活齿传动啮合力与自由振动进行了研究。安子军等[3-4]对摆线钢球传动的扭转刚度与系统自由振动进行了研究。周思柱等[5]分析了圆柱正弦活齿传动的啮合作用力和扭转刚度，并建立了系统扭转振动模型。李冲等[6]建立了机电集成压电谐波传动系统活齿传动的动力学模型，并推导了其动力学微分方程。上述研究多为求解结构自由振动模态，而转子动力学理论研究的重点是随转速变化的转子振动特性。随着传动机构向高转速化方向发展，转速对传动装置振动特性的影响越来越大，因此应用转子动力学理论对活齿传动机构进行动态特性研究，以合理确定结构参数，减小振动，提高传动性能。双相外激波摆杆活齿传动变速机构可视作双转子系统[7]，激波凸轮与中心轮通过离散的活齿联动，系统动态特性受离散活齿的耦合效应的影响，因此对联动处耦合刚度的研究是对活齿传动机构进行转子动力学精确建模的基础。

本文以双相外激波摆杆活齿传动机构为研究对象，综合Palmgren形变关系公式以及变形协调条件，推导了随激波凸轮转角变化的时变耦合刚度计算公式，并进行了算例求解，分析了结构参数对传动耦合刚度的影响。

1　双相外激波摆杆活齿传动耦合刚度

双相外激波摆杆活齿传动结构如图1所示，外激波凸轮与输入轴相连，中心轮与输出轴相连，活齿架固定，摆杆一端通过销轴铰接于活齿架。当外激波凸轮以转速ωH逆时针转动时，凸轮径向尺寸发生变化，迫使活齿随摆杆摆动，活齿压迫中心轮，使中心轮以转速ωK转动，完成减速传动。相邻活齿啮合副存在等间隔相位差，传动过程中交替往复运动，从而保证了活齿传动的连续性。

1.外激波凸轮　2.摆杆　3.活齿　4.中心轮　5.销轴图1　外激波摆杆活齿传动结构Fig.1　Structure of outer generator swinging rod movable teeth transmission

此时，机构的传动比为

iHK=ωH/ωK=ZK/(ZK-Zg)

(1)

式中，ZK为中心轮齿数；Zg为活齿齿数。

由于活齿架固定，因此激波凸轮与中心轮可分别视作高速、低速转子，高转速下，二者受偏转力矩以及陀螺效应的影响，在轴截面内涡动，所以二者之间起传动作用的活齿-活齿架系统可视作中介轴承，使二者振动产生耦合效应。已有研究表明，中介轴承的时变刚度直接影响了双转子的横向耦合振动[8-9]，是系统非线性振动的根源[10]。定义活齿传动耦合刚度为中心轮相对激波凸轮在径向上产生单位位移时所要施加的力，其计算时需要依托参数化的齿形方程。活齿传动耦合刚度既是评价活齿齿形传动性能的指标，又是活齿传动转子动力学方程精确建模的基础。

2　双相外激波摆杆活齿传动齿形构建

2.1　双相外激波凸轮齿形设计

建立图2所示坐标系，R为激波凸轮的基圆半径，h为行程，φ为推程运动角，φ为矢量P(φ)相对激波凸轮的转角，径向尺寸增量s(φ)选用三阶导数连续、运动过程中无刚性、柔性冲击的摆线类函数：

图2　外激波凸轮设计原理图Fig.2　Design of outer generator cam

回程BC与推程AB关于y轴对称，则构建了一个转角范围为0～2φ的完整激波齿形ABC，CDA与ABC关于x轴对称，构成双相激波凸轮齿形，用复数矢量法表示为

P(φ)=(R+s(φ))ejφ

(2)

双相外激波凸轮在几何形状上是一个双波幅180°布置的环形凸轮，两个波幅对称，质心位于回转中心，它消除了单相激波偏心引起的离心惯性力，实现激波凸轮自平衡，适用于输入高转速。

2.2　中心轮齿形生成

如图3所示，建立与活齿架固连的坐标系oxy，ox1y1与外激波凸轮固连，ox2y2与中心轮固连，3个坐标系的起始位置重合，活齿中心位于激波凸轮曲线向径最低点A。图3中，C点为摆杆与活齿架的铰接点，α0为初始位置P(φ)与oC夹角，α为任意位置P(φ)与oC夹角，δ=α-α0，φK为矢量P(φ)相对中心轮的转角，c为C点到坐标原点o的距离，l为摆杆长度。当ox1y1转过一个角度θ(θ=φ-δ)时，ox2y2转过的角度θi=θ/i。在激波凸轮曲线齿形约束下，转动过程中，摆杆以C点为中心顺时针摆动，矢量P(φ)从初始位置A点到达B点，曲线AB即为中心轮的理论齿形，再以活齿半径等距包络可形成中心轮的实际齿形。

图3　中心轮齿形生成原理图Fig.3　Generating of center wheel tooth profile

各角度变量之间的关系为

φK=[φ+(1-iHK)α0+(iHK-1)α]/iHK

式中，p(φ)为矢量P(φ)的模。

则中心轮理论齿形可表示为

PK=(R+s(φ))exp(jφi)

(3)

2.3　传动压力角推导

设活齿对中心轮的压力角为αPKi，激波凸轮对活齿的压力角为αPHi，如图4所示。

图4　压力角解析图Fig.4　The illustration of pressure angle

中心轮理论齿形的切线方向矢量为

中心轮实际齿形为理论齿形的等距线，设r为活齿半径，则等距向量为

VK=rdPKiejπ/2

因此中心轮实际齿形的矢量方程为

分别用QKi、TKi表示接触点处压力方向与速度方向向量，则有

QKi=dPKiejπ/2

两方向矢量的夹角即为压力角，即

与活齿对中心轮的压力角推导原理相同，激波凸轮对中心轮的压力角为

3　系统径向力计算

(4)

式中，i为图5中各位置处活齿对应编号。

图5　系统径向受力分析模型Fig.5　Model of system contact force analysis

3.1　活齿静力平衡方程

摆杆活齿啮合传动具有周期性，各个并联啮合副从啮合开始到结束的工作过程完全相同，相邻两个啮合副仅相差一个相位。离散齿受力与形变情况与所处啮合相位对应，不同活齿在每个啮合周期运动循环中的受力情况相同，不失一般性。任选第i个活齿作为研究对象，通过对该活齿在整个啮合周期内的受力分析可表征在任意啮合状态下全部活齿的受力状况。

图6　活齿受力分析模型Fig.6　Model of movable teeth contact force analysis

各角度的关系为

式中，当活齿接触点位于激波凸轮推程区间时式中“±”取“-”，位于回程区间时式中“±”取“+”。

在图6中，由活齿静力平衡得

(5)

3.2　系统变形协调条件

在满足计算精度的条件下，采用Palmgren经验公式[11]进行线接触弹性趋近量的计算，滚动轴承计算中常用的Palmgren经验公式为

对于轴承钢，材料泊松比υ1=υ2=0.3，弹性模量E1=E2=206 GPa，线接触宽度b取样机用活齿宽度10 mm，得到活齿接触对中所受法向力FKi与弹性变形量ΔYi的关系：

(6)

活齿i的法向力FKi、FHi分别产生的弹性变形ΔKi、ΔHi满足系统变形协调方程：

(7)

3.3　径向力计算

联立式(5)～式(7)得活齿i对中心轮的法向力：

(8)

i=1,2,…,Zg/2

系统为多齿啮合接触，以图5中所示位置为计算的初始位置，中心轮下移，活齿2、3挤压受力。活齿1、4处于边界状态，随着中心轮逆时针转动，中心轮与活齿1的接触点处于中心轮齿廓的齿根到齿顶推程区间，活齿1受力，而活齿4的接触点处于回程区间，因而不受力，活齿5、6与中心轮分离，也不产生接触力，即整个系统始终有半数活齿受力。多齿法向力在Y向投影得到系统径向力受力平衡方程为

(9)

将式(8)代入式(9)可得系统整体径向力：

(10)

4　系统耦合刚度的计算

不同于圆柱滚子轴承支撑刚度的各向同性，活齿传动受齿形影响，其耦合刚度需在X、Y两垂直方向上进行数值标定。

根据刚度定义，系统Y向刚度KY为

(11)

定义Y向刚度系数为

(12)

按相同计算流程可得X向刚度系数

(13)

5　结构参数对刚度系数影响分析

根据某输送机械用减速器设计要求，双相外激波摆杆活齿传动结构参数如表1所示，以此作为基本数据，讨论单变量对刚度系数的影响。

表1　活齿传动系统结构参数Tab.1　Structural parameters of movable teeth driving system

选取结构参数中对齿形影响较大的行程h、摆杆长度l以及活齿数目Zg，针对这些参数对刚度系数的影响进行了分析。由图7可知，随着推程h的变大，刚度系数CKX与CKY均呈现最小值变小，极大值变大的变化规律，当h增大28%时，二者波动幅值分别增大了30%与53%，二者均值增大分别为3.3%与3.4%，可见h对刚度系数的波动幅值影响较大，而对刚度系数均值的大小影响并不明显。

(a)X向刚度系数CKX

(b)Y向刚度系数CKY图7　行程h对刚度系数的影响Fig.7　Influence of h on stiffness coefficient

由图8可知，随着摆杆长l的变大，CKX与CKY均变大，当l增大50%时，二者波动幅值分别增大3.6%与2.8%，二者均值分别增大1.5%与1.7%，可见l对刚度系数的波动程度与均值的影响都不明显。

(a)X向刚度系数CKX

(b)Y向刚度系数CKY图8　摆杆长l对刚度系数影响Fig.8　Influence of l on stiffness coefficient

(a)X向刚度系数CKX

(b)Y向刚度系数CKY图9　活齿数Zg对刚度系数的影响Fig.9　Influence of Zg on stiffness coefficient

由图9可知，随着活齿数目Zg的变大，刚度系数CKX与CKY均呈现“整体平移”式增大，当活齿数目由6增加到10时，二者均值分别提高了30.3%与33.3%，曲线波动方差分别降低了62.7%与60%，可见增大活齿数目可以增大刚度系数的均值，提高刚度系数的波动稳定性。

由于双相激波传动结构的对称性，刚度系数CKX、CKY的变化曲线在推程段和回程段是对称的。在激波凸轮推程阶段，刚度系数曲线先升后降，且整个周期中的幅值波动明显，这是活齿传动转子系统非线性振动的重要原因。

6　结论

(1)以外激波摆杆活齿传动为研究对象，运用复数矢量法构建了激波凸轮齿形，基于转速变换原理推导了中心轮的理论和实际齿形，实现了外激波摆杆活齿传动齿形参数化设计。

(2)根据摆杆活齿传动特点提出了耦合刚度的概念及计算方法，实例计算表明：刚度系数变化明显，是摆杆活齿传动双转子系统非线性振动的重要原因，提出的耦合刚度概念也可应用于其他类型活齿传动。

(3)主要结构参数中行程h对刚度系数稳定性的影响较大，而摆杆长l对刚度系数影响不明显，增大活齿数目Zg可明显提高刚度系数的均值，提高刚度系数的稳定性。

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(编辑张洋)