一元二次方程起始课：从教教材走向用教材教——对两节“青优展评课”的概述与商榷

☉江苏海安县海陵中学 张晓波

近期研习第十届初中数学青年教师优秀课展示活动中的一些课例，对两节“一元二次方程的解法（1）”较为关注，对两节课的教学环节与教学处理除了欣赏学习，也有一些不同的意见.本文先概述两节课的教学环节，再给出笔者的学习心得与商榷意见，供研讨.

一、课例概述

课例1：来自北京海淀区育英中学张洁老师的课例.

教学环节（一） 请学生写出几个一元二次方程，为了方便观察，要求统一都写成一元二次方程的一般形式.

教学意图：教师让学生有意识地根据自己的学习经验，总结代数学中研究方程的一般顺序，自主提出研究的内容和方向.

教学环节（二） 请学生试着将这些一元二次方程按适当的标准进行分类.

教学意图：使学生在分类活动中逐步认识一元二次方程的各种形式，为探究一元二次方程的解法布好局，学生在接下来的学习中探究每个不同形式的方程的解法，也就完成了整个单元中解法探索的整合教学.

教学环节（三） 小组讨论分类标准和呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类.分小组汇报后，全班进行优选.

教学意图：教师引入“列表法”，让学生填表，以加深学生对一元二次方程各项系数的认识，以及对方程不同类型的理解，并为后续研究方程的解法作铺垫.学生举例用卡片写好后贴到黑板上，如图1：

图1

教学环节（四） 观察表格中的各类方程，寻找你会解的方程，并思考：是不是这个方程所在类型的所有方程都能用此方法求解？

教学实录的板书如图2所示：

图2

课例2：来自长春南湖实验中学黄永坤老师的课例.

教学环节（一） 回顾历史，引入新课.

教学组织：学生课前自行收集和整理与一元二次方程的解法有关的数学史料，课上借助多媒体交流、展示.

设计意图：开课阶段展示学生收集的资料，加深学生对数学史的了解，培养学生不忘传承的情感态度.同时，培养对数学美的鉴赏，激发学生的学习兴趣.

教学环节（二） 生成新知.

先给出课前提供给学生思考的5个问题：

问题1：我们之前学过哪些方程及方程组？

问题2：平方根的定义及性质是什么？

问题3：通过自学，你认为本节课讲了哪些内容？

问题4：如何解方程x2=4？求解过程用到了之前所学过的哪些知识？

问题5：如何求解下列方程？

教学组织：结合学生课前思考“5个问题”，课上进行知识梳理、答案展示.针对阶段学习进行反思与总结，通过小组交流、解决自学中存在的问题，帮助学有所难的学生完成预习内容，进而实现新知的生成.

教学环节（三） 深化问题.

问题6：如何求解下列方程？

问题7：满足什么形式的一元二次方程可用直接开平方法求解？

教学组织：针对问题6、问题7，小组合作交流，借助展台，学生展示求解思路及提炼直接开平方法所适用的方程的形式，师生参与对话、评析.

教学环节（四） 把握思想.

问题8：能否试着编写一个可以用直接开平方法求解的一元二次方程？

问题9：用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？

教学组织：对于问题8，通过小组合作，加深学生对可用直接开平方法求解的方程形式的理解；问题9意在让学生更加清晰解题步骤，培养学生的归纳能力.

教学环节（五） 提升思维.

问题10：直接开平方后，一元二次方程最终转化成了什么方程？

问题11：二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程在求解过程中，有哪些相同点和不同点？

教学组织：这两个问题层层递进，问题10是对本节课所有的解一元二次方程中蕴含的方法及思想的总结；问题11则是让学生体会所有方程及方程组在求解过程中由特殊到一般的思想方法.

教学环节（六）小结梳理，目标检测.（略）

二、评课与商榷意见

作为通过层层选拔推到全国平台上评优、展评的两节课例，可学习之处当然很多，比如，课堂教学流程的完整，对教学内容推进的层层递进，注意与学生之间的互动对话，以学生为主体，等等.特别是，让学生自主举例的开放式教学是这两个课例的突出亮点.然而，作为教学研讨，本着个人兴趣，我认为，这两节课主要问题是辨识教学难点不到位，没能从“教教材”走向“用教材教”（这也是华东师大终身教授钟启泉先生所指出的新旧教学的分水岭）.

1.辨识初三教学难点不到位，直接开方法多数学生已掌握.

反复研读这两节课发现，一个显著的不足就是拘泥于教材的课时安排，只组织学习了用直接开方法解一些特殊形式的一元二次方程，根据我们长期初三的教学实践经验，就是不组织学习，学生也已会解这种一元二次方程.原因是初一、初二阶段对这类问题的训练已到位，比如，人教版七年级下册学习数的开方时，教材上已有如下习题：

题1：求下列各式中x的值：

（1）x2=25；（2）x2-81=0；（3）25x2=36.

题2：自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h=4.9t2.如图3，有一个物体从120m高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间（结果取整数）

说明：求解题1时，就是上文课例中的一些典型例题，而题2需要列出一元二次方程120=4.9t2，运用直接开方法求出t的正值，舍去负数.

还有，初二下学期二次根式、勾股定理等内容的学习也涉及直接开方解简单的一元二次方程，所以，我们说学生对这类简单的一元二次方程训练已经到位.

2.践行单元教学，从“教教材”走向“用教材教”.

根据以上分析，本课的教学目标（教学内容）应该重新调整，至少应该适当引入用配方法解二次项为1的一元二次方程.在这里，我们可推介著名特级教师李庾南老师在一元二次方程起始课教学时的“教材再建构”，以下简要概述李老师的教学环节：

教学环节（一） 提出实际问题，引入课题.

开课时提出一个实际问题，师生合作列出方程x2-14x+24=0，学生发现不是已学的一元一次方程，不会解.通过回顾一元一次方程的学习经验，自觉给新方程命名为“一元二次方程”，教师板书课题.

教学环节（二） 概括一元二次方程的定义和一般形式.

定义一元二次方程及一般式之后，适当跟进训练.

将下列方程化成一元二次方程的一般形式后，说出各项及二次项、一次项的系数：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5 → x2-4=0 ①；

3x（x-1）=2（x+2）-4 → 3x2-5x=0 ②；

（x+2）（x-4）=7 → x2-2x-15=0 ③.

教学环节（三） 师生合作解方程①、②、③.

1.研究由已有知识能否求得方程①x2-4=0的解.

方法1：x1=2，x2=-2→给出解法的名称：直接开平方法.

方法2：根据提公因式法因式分解来解方程，并命名为因式分解法.

2.小组研究方程②、③的解法.

学生用“因式分解法”解方程②3x2-5x=0和方程③x2-2x-15=0.

3.教师引导学生进一步研究、概括.

（1）解一元二次方程的基本思想：降次，转化为一元一次方程来解.

（2）降次方法：直接开平方，因式分解.

教师讲解对于方程③x2-2x-15=0，也可以通过适当变形，运用直接开平方来解（师生合作给出具体过程，这里略去），并进一步定义配方法.

综上，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.

以下是李老师这节课的板书设计：

赏析：可以发现，李老师对一元二次方程的四种解法有深刻理解，发现它们相互间的转化关系，所以先帮助学生建立知识体系框架，即形成“整体”知识，后续课再让学生站在知识“整体”的高度，自主而深入地研究知识整体的各个“局部”，是一节单元教学的经典课例.

1.李庾南.“自学·议论·引导”教学法的教学预设［J］.中学数学（下），2017（10）.

2.郑毓信.数学教师如何才能用好教材［J］.小学教学（数学版），2016（3）.

3.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

4.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

5.李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.W