中考数学压轴题的特点及复习策略

浙江省临海市永丰镇中学 翁灵春

中考数学压轴题历来是筛选数学优等生的重要手段，学生能不能解压轴题，是数学能否取得高分和取胜中考的关键因素，因此不能忽视数学压轴题的重要性。就目前中考数学复习的情况来看，很多教师已经充分地认识到了数学压轴题的重要性，在复习的过程中有意识地加大训练力度，但是其训练效果并没有得到明显的提高。要想在复习中提高学生中考数学压轴题的解题能力，就应让师生双方都意识到中考数学压轴题的特点，从而进行有目的性的学习。

一、中考数学压轴题的特点

初中阶段是学生逻辑思维发展的最关键时期，数学知识的点点滴滴都是对学生数学学习能力的培养、对数学思想的渗透，总体来说都是对学生综合能力的培养和锻炼。中考数学压轴题不是对学生具体知识点的掌握情况的考查，也不是对学生的具体解题思想方法的运用情况的掌握程度进行考查，而是要综合考查学生的能力和素养。所以中考数学压轴题所涉及的知识点的范围十分广泛，对相应的数学思维方法的考查也比较全面。总的来说，中考数学压轴题的特点主要有以下几点：考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况；考查学生灵活运用数学知识解决生活实际问题的能力；考查学生巧妙运用数学思想和数学方法的综合能力；考查学生进行数学研究的能力。

二、中考数学压轴题的复习策略

1.在掌握基础知识的基础上转变思维方式

数学知识之间有着千丝万缕的联系，相辅相成，复杂的数学知识必须以基础数学知识为基础，对于学生而言，只有全面深入地了解和掌握数学基础知识，才能有效理解问题、解决问题，增强解题能力。由此可见，基础的定义、概念和公式的融会贯通，才是解题能力提高的关键。

一般来说，学生对于压轴题的态度都是比较轻视的，他们认为压轴题一定是偏难的题目，因而直接放弃做压轴题。但实际上，压轴题是由很多基础概念组成的，只有在全面理解基础概念的基础上，才能将所学知识正确运用到压轴题的解决当中，走出解题的误区和僵局。

其次，在学生熟练掌握基础知识的基础上，还要学会转变思维方式，从而巧妙解决数学问题。变换是几何与代数问题都会用到的解题方法，在图形的旋转、平移、对称等问题以及代数的恒等变换中都会用到转换思想。

如：a，b，c，d均为正整数，求证：存在一个三角形，其三边之长为

2.问题的有效分解

中考数学压轴题涉及数学学习中的很多细小知识点，具有很强的综合性，面对这样的问题，就必须学会把大问题进行分解，分解变成多个小问题，再利用学生对各个知识点的掌握情况逐一进行解决，从而实现对压轴题目的解决。因此，在中考复习的过程中，教师要有意识地培养和锻炼学生分解压轴题的能力，在实际的训练中增强训练力度。

以2011年江苏省泰州市的中考数学压轴题为例，具体题面如下：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D总在第一象限。

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围并说明理由。

分析：对题目进行解析不难发现，这道题要考查的知识点主要包括正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线性质、三角函数等，因而我们只要把题目分解成几个小知识点就不难应付了。（1）当∠BAO=45°时，利用正方形对角线性质，能证明四边形OAPB是正方形，从而求出P点的坐标。（2）要证明P点在角平分线上，想到角平分线的性质逆定理，因而过P点添作x轴和y轴的垂线，利用三角形全等证明线段相等，从而得以证明。（3）点P到x轴的距离与PE的长度是相等的，而PA与PE之间的夹角必然在0°到45°的范围之内，设这一夹角为α，这一距离将能通过PA·cosα来计算，其长度范围自然也确定了。

3.数形结合，破解压轴题

数形结合在解决几何问题与函数问题中是常用的方法，会使问题形象直观化，有时在压轴题的解决过程中，把题目中的数字与图形结合起来是一种相当有效的方法。将抽象的语言文字转化为形象的数学图形，从而降低题目的难度。有些时候，几何问题与代数问题不能运用对应的方法进行解决，而要进行有效的转化，运用不同的角度和思维，用几何方法解决代数问题或用代数方法解决几何问题，就能有效降低题目难度，将复杂的问题变得简单化，提高解题的效率。

例如，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，若关于x 的方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）

A.k＞3 B.k＜3 C.k=3 D.无法确定

解析：这种类型的题目一旦给出，一般情况下，都是对数形结合思想进行考查。就本题而言，如果直接根据b2-4ac的符号来进行解答情况的判定，那么这个题目就无法求解。因此必须应用数形结合的思想将原方程变形，变形后的方程为ax2+bx+c=k，将这两个方程看作两个函数图象的交点问题，可以列出这样的式子：①y=ax2+bx+c，②y=k。然后结合图象，可知只有当y=k＜3时，函数一定与抛物线有两个不同的交点，由此就可以确定答案为B。

总之，中考数学压轴题是对初中学生阅读能力、分析问题能力、转译和改造能力的考查，把复杂问题变为简单化、综合变为基本，善于转化与联想的能力以及对信息的连贯合理处理、加工信息能力的考查。因此，只有在全面掌握中考数学压轴题特点的基础上，才能运用科学合理的方法进行问题的解决。

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[3]葛云康 .中考数学压轴题的解题策略[J].成功(教育)，2008（05）：147-148.