判定多元椭球面的充要条件及椭球体的体积算法

杨波

【摘要】假定n元二次曲面是判定多元椭球的充要条件，也是计算与之相对应的n维椭球体积的公式，那么在推导判定条件和体积计算时，只需要用曲面系数行列式，这样处理，判定椭球面和计算椭球体积更简易.

【关键词】二次曲面；欧拉函数；椭球体积

一、问题提出

根据解析几何可知二次曲线在2维坐标系上显示的图形为封闭图形的只有椭圆，由此可推导出二次曲面在3维坐标系上显示的椭球面也是封闭图形.本文要讨论的是多元二次曲面是否是判定椭球面的充要条件，此外，还将探讨与其相对应的n维椭球体的体积的计算方法，为了证实用二次曲面的系数行列式是否能让判定与计算更为简捷，特做此研究.

二、定 理

设x=（x1，…，xn）T∈Rn，A=（aij）∈Rn×n，b=（b1，…，bn）T∈Rn，c∈R，那么，n元二次曲面方程为f（x）=xTAx+2bTx+c=0，方程中的A，即为对称矩阵，也就是这个二次曲面的二次项系数矩阵.

如果记A～=cbTbA，那么f（x）表示就可以相对简化，即可以表示为f（x）=（1 αT）A～（1 αT）T，A～则为这个二次曲面的系数矩阵.

定理1 有n维球面可表示为x21+x22+x23+…+x2n=r2，这个球面围成的球体的体积是V=πn2rnΓn2+1，公式中的Γn2+1是欧拉函数.

定理2 n维的椭球面可表示为λ1x21+λ2x22+…+λnx2n=r（r，λi>0），这个椭球面围成的椭球体的体积可以用定理1推导，即为V=πn2Γn2+1·rnλ1λ2…λn.

证明 如果D可逆，就有detABCD=detD·det（A-BD-1C）.

如果A是实对称矩阵，那么也就有正交矩阵P=（p1，p2，…，pn），能让PTAP=diag（λ1，λ2，…，λn），此式中的pi是实对称矩阵关于特征值λi的向量.

三、判定椭球面的充要条件

A为定性矩阵，同时它的定性与detA～detA符号相反，n元的二次曲面f（x）=xTAx+2bTx+c=0就能表示椭球表面，而此椭球的体积为

V=ππ2Γn2+1·|detA～|n|detA|n+1.

前面已经提到A为实对称矩阵，则会有正交矩阵P=（p1，p2，…，pn），可让

PTAP=diag（λ1λ2，…，λn），做正交变换x=Py，那么

f（x）=xTAx+2bT+c=（Py）TA（Py）+2bT（Py）+c

=yTdiag（λ1，…，λn）y+2bT（p1，p2，…，pn）y+c

=∑ni=1λiy2i+2∑ni=1bTpiyi+c

=∑λiyi+bTpiλi2+c-∑i=1（bTpi）2λi.

由detA～=detcbTbA=detA·det[c-（bTA-1）]

=detA[c-（bTA-1b）]

=detAc-∑ni=1（bTpi）2λi，

∴f（x）=xTAx+2bTx+c=∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA～detA.

A为定性矩阵，当它的定性与detA～detA符号相反，那么λi同号，则与detA～detA异号.

由此得∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA～detA=0，由定理2知此椭球面所围的n维橢球体的体积为

V=ππ2Γn2+1·-detA～detAnλ1λ2…λn.

由detA=λ1λ2…λn，则有

V=ππ2Γn2+1·-detA～detAdetA

=πn2Γn2+1·|detA～||detA|n+12.

由x=Py为正交变换，那么f（x）=xTAx+2bTx+c=0也能表示n维椭球面，此椭球的体积计算公式为

V=πn2Γn2+1·|detA～||detA|n+1.

【参考文献】

[1]周明.特列旋转二次曲面的性质[J].上饶师范学院学报，2014（6）：11-14.

[2]汤宇.二次曲线（面）所围图形的面（体）积[J].长春师范学院学报，2013（2）：4-6.

[3]赵虹.二次曲面所围封闭图形的体积[J].大学数学，2013（6）：138-140.