与二次曲面相关轨迹问题的研究

赵秀元

(榆林学院数学与应用数学系， 陕西 榆林 719000)

文献[1]对有关圆及椭圆的轨迹问题作了探讨，文献[2]对有关椭球面的轨迹问题作了探讨, 文献[3]对双曲面的轨迹的问题进行了研究,文献[4]对有心二次曲面的轨迹问题进行了研究,在此基础上,笔者用类似的方法对有关一般二次曲面轨迹问题进行了研究,得出了几个结论,并给出了求满足题设条件的无心二次曲面轨迹方程的方法，此结论丰富了空间解析几何的内容.

定理1:设点M(x,y,z)在三维空间内异于原点的任一定点M0(x0,y0,z0)与二次曲面∑:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

又因为点M′是有心二次曲面上任一点,于是

即∑′:

推论1：设三维空间内异于原点的任一定点M0(x0,y0,z0)与二次曲面∑:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

上任一点M′(x′,y′,z′)的连线段之中点为M(x,y,z),则点M的轨迹为二次曲面∑′:

定理2：已知二次曲面的方程为∑:

证明：由于点M′与M″都是二次曲面∑上的点,于是有

a11x′2+a22y′2+a33z′2+2a12x′y′+2a13x′z′+2a23y′z′+2a14x′+2a24y′+2a34z′+a44=0,a11x″2+a22y″2+a33z″2+2a12x″y″+2a13x″z″+2a23y″z″+2a14x″+2a24y″+2a34z″+a44=0

两式相减,得

a11(x′-x″)(x′+x″)+a22(y′-y″)(y′+y″)+a33(z′-z″)(z′+z″)+2a12(x′y′-x″y″)+2a13(x′z′-x″z″)+2a23(y′z′-y″z″)+2a14(x′-x″)+2a24(y′-y″)+2a34(z′-z″)=0

因为

(x′+y′)2-(x″+y″)2=x′2+y′2-x″2-y″2+2x′y′-2x″y″

(x′+y′-x″-y″)(x′+y′+x″+y″)=x′2+y′2-x″2-y″2+2(x′y′-x″y″)

所以

同理可得

于是有

a11(x′-x″)(x′+x″)+a22(y′-y″)(y′+y″)+a33(z′-z″)(z′+z″)+a12[(x′-x″+y′-y″)(x′+x″+y′+y″)-(x′-x″)(x′+x″)-(y′-y″)(y′+y″)]+a13[(x′-x″+z′-z″)(x′+x″+z′+z″)-(x′-x″)(x′+x″)-(z′-z″)(z′+z″)]+a23[(y′-y″+z′-z″)(y′+y″+z′+z″)-(y′-y″)(y′+y″)-(z′-z″)(z′+z″)]+2a14(x′-x″)+2a24(y′-y″)+2a34(z′-z″)=0

又由于点N是线段M′M″的中点,则有

所以有

2a11(x-x0)x1+2a22(y-y0)y1+2a33(z-z0)z1+a12[(x-x0+y-y0)(2x1+2y1)-2(x-x0)x1-2(y-y0)y1]+a13[x-x0+z-z0)(2x1+2z1)-2(x-x0)x1-2(z-z0)z1]+a23[(y-y0+z-z0)(2y1+2z1)-2(y-y0)y1-2(z-z0)z1]+2a14(x-x0)+2a24(y-y0)+2a34(z-z0)=0

即

a11(x-x0)x1+a22(y-y0)y1+a33(z-z0)z1+a12[(x-x0)y1+(y-y0)x1]+a13[(x-x0)z1+(z-z0)x1]+a23[(y-y0)z1+(z-z0)y1]+a14(x-x0)+a24(y-y0)+a34(z-z0)=0

x1=(1-μ)x0+μx, y1=(1-μ)y0+μy, z1=(1-μ)z0+μz

故有a11(x-x0)[(1-μ)x0+μx]+a22(y-y0)[(1-μ)y0+μy]+a33(z-z0)[(1-μ)z0+uμ]+a12{(x-x0)[(1-μ)y0+μy]+(y-y0)[(1-μ)x0+μx]}+a13{(x-x0)[(1-μ)z0+μz]+(z-z0)[(1-μ)x0+μx]}+a23{(y-y0)[(1-μ)z0+μz]+(z-z0)[(1-μ)y0+μy]}+a14(x-x0)+a24(y-y0)+a34(z-z0)=0

化简整理，得∑′:

推论2 已知二次曲面的方程为∑:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

点M0(x0,y0,z0)为空间内任一定点, 过点M0任作一直线L与一般二次曲面∑相交于点M′(x′,y′,z′)、M″(x″,y″,z″)两点, 则线段M′M″的中点M(x,y,z的轨迹为二次曲面∑′:

参考文献

[1] 王跃辉. 解析几何的变式与解题后的反思[J].数学教学,2006,(12):34-36.

[2] 冯爱萍.有关椭球面的轨迹问题的研究[J]. 榆林学院学报，2007,(4)：38-39.

[3] 冯爱萍.有关双曲面的轨迹的问题研究[J].科学技与工程，2009,(11):208-209.

[4] 冯爱萍.有心二次曲面的的轨迹问题的研究[J].江西科学,2009,(2):186-187.